Giải bài 42 trang 77 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 42 trang 77 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 42 trang 77 sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để bạn có thể áp dụng vào các bài tập tương tự.
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 4;0} \right)\). a) Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. c) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). d) Tính chu vi của tam giác \(ABC\). e) Tính \(\cos \widehat {BAC}\).
Đề bài
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 4;0} \right)\).
a) Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
c) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
d) Tính chu vi của tam giác \(ABC\).
e) Tính \(\cos \widehat {BAC}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng nếu hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB\):
\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 4; - 1} \right),k\overrightarrow {AC} = \left( { - k; - 4k; - k} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \in \mathbb{R}\).
Vậy ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\).
\(\overrightarrow {DC} = \left( {0 - {x_D};\left( { - 4} \right) - {y_D};0 - {z_D}} \right) = \left( { - {x_D}; - 4 - {y_D}; - {z_D}} \right)\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = - {x_D}\\1 = - 4 - {y_D}\\1 = - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 1\\{y_D} = - 5\\{z_D} = - 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( { - 1; - 5; - 1} \right)\).
c) \(G\left( {\frac{{1 + 2 + 0}}{3};\frac{{0 + 1 + \left( { - 4} \right)}}{3};\frac{{1 + 2 + 0}}{3}} \right) \Leftrightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)\).
d) Ta có:
\(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ;\\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 ;\\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {33} .\end{array}\)
Chu vi tam giác \(ABC\)là: \(\sqrt 3 + 3\sqrt 2 + \sqrt {33} \).
e) Trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt 3 .3\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Giải bài 42 trang 77 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 42 trang 77 sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều thuộc chương trình học về Đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm lượng giác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Nội dung bài tập 42 trang 77
Bài 42 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số: Yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, đòi hỏi học sinh phải thành thạo các quy tắc tính đạo hàm.
- Tìm đạo hàm cấp hai: Tính đạo hàm bậc hai của hàm số, giúp xác định tính lồi lõm của đồ thị hàm số.
- Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ như tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động.
Lời giải chi tiết bài 42 trang 77
Để giải bài 42 trang 77 sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số cần tính đạo hàm.
- Áp dụng quy tắc tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học, như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp, hàm lượng giác,...
- Rút gọn biểu thức: Sau khi tính đạo hàm, cần rút gọn biểu thức để có kết quả cuối cùng.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả tính đạo hàm là chính xác.
Ví dụ minh họa
Bài toán: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1).
Lời giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1)
Các lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm: Đây là yếu tố cơ bản để giải quyết các bài toán về đạo hàm.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng.
- Sử dụng máy tính bỏ túi: Máy tính bỏ túi có thể giúp bạn tính toán nhanh chóng và chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả: Luôn kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Tài liệu tham khảo
Để học tốt môn Toán 12, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 12 - Cánh Diều
- Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều
- Các trang web học toán online uy tín
- Các video bài giảng trên YouTube
Kết luận
Bài 42 trang 77 sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các bạn học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
