THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau: a) \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\); b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\); d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:
a) \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\);
b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\);
d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = - {x^2} - 2{\rm{x}} + 3\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}\) tại \(x = 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
b) Xét hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 16{\rm{x}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = - 2,x = 2\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10\) tại \(x = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = - 6\) tại \(x = \pm 2\).
c) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, \(y' = 0\) khi \(x = 0\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - 1\) tại \(x = 0\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
d) Xét hàm số \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = - 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = - 3\) tại \(x = - 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc ôn tập chương 3: Đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, các quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 41 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 41 trang 19, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết cho từng câu hỏi:
(Giải thích chi tiết từng bước giải câu a, bao gồm cả lý thuyết và công thức sử dụng)
(Giải thích chi tiết từng bước giải câu b, bao gồm cả lý thuyết và công thức sử dụng)
(Giải thích chi tiết từng bước giải câu c, bao gồm cả lý thuyết và công thức sử dụng)
Khi giải bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để hiểu rõ hơn về đạo hàm và các ứng dụng của nó, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
