Giải bài 41 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau: a) \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\); b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\); d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:
a) \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\);
b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\);
d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = - {x^2} - 2{\rm{x}} + 3\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}\) tại \(x = 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
b) Xét hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 16{\rm{x}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = - 2,x = 2\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10\) tại \(x = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = - 6\) tại \(x = \pm 2\).
c) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, \(y' = 0\) khi \(x = 0\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - 1\) tại \(x = 0\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
d) Xét hàm số \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = - 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = - 3\) tại \(x = - 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Giải bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc ôn tập chương 3: Đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, các quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Nội dung chi tiết bài 41
Bài 41 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số: Yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số đơn thức, đa thức, hàm hợp, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
- Áp dụng quy tắc đạo hàm: Vận dụng các quy tắc đạo hàm như quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc chuỗi để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
- Giải phương trình đạo hàm: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng cách giải các phương trình bậc nhất, bậc hai, hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình khác.
- Khảo sát hàm số: Sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu, cực trị, và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải chi tiết bài 41 trang 19
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 41 trang 19, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết cho từng câu hỏi:
Câu a: ...
(Giải thích chi tiết từng bước giải câu a, bao gồm cả lý thuyết và công thức sử dụng)
Câu b: ...
(Giải thích chi tiết từng bước giải câu b, bao gồm cả lý thuyết và công thức sử dụng)
Câu c: ...
(Giải thích chi tiết từng bước giải câu c, bao gồm cả lý thuyết và công thức sử dụng)
Các lưu ý khi giải bài 41
Khi giải bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều, học sinh cần lưu ý những điều sau:
- Nắm vững các định nghĩa và công thức về đạo hàm: Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, do đó học sinh cần nắm vững các định nghĩa và công thức liên quan.
- Luyện tập thường xuyên: Để thành thạo các kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong bài tập, học sinh nên kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc và gia tốc của một vật thể.
- Tìm cực trị của hàm số: Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tìm cực trị của hàm số, chẳng hạn như lợi nhuận tối đa hoặc chi phí tối thiểu.
- Tối ưu hóa các bài toán thực tế: Đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa các bài toán thực tế, chẳng hạn như thiết kế sản phẩm hoặc quản lý chuỗi cung ứng.
Tài liệu tham khảo thêm
Để hiểu rõ hơn về đạo hàm và các ứng dụng của nó, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 12
- Sách bài tập Toán 12
- Các trang web học toán online uy tín
Kết luận
Bài 41 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
