Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SBT Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Đây là bước đầu tiên để làm quen với khái niệm nguyên hàm và tích phân, những công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

I. Khái niệm nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

II. Các quy tắc tìm nguyên hàm cơ bản

1. Nguyên hàm của hàm lũy thừa: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
2. Nguyên hàm của hàm nghịch đảo: ∫(1/x) dx = ln|x| + C
3. Nguyên hàm của hàm mũ: ∫e^x dx = e^x + C
4. Nguyên hàm của hàm sin: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
5. Nguyên hàm của hàm cos: ∫cos(x) dx = sin(x) + C

III. Giải bài tập trong SBT Toán 12 Cánh diều - Bài 2

Dưới đây là giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu trong sách bài tập:

Bài 2.1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 1

Giải:

∫(x³ + 2x² - 1) dx = ∫x³ dx + 2∫x² dx - ∫1 dx

= (x⁴)/4 + 2(x³)/3 - x + C

Bài 2.2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sin(x) - 2cos(x) + 5

Giải:

∫(3sin(x) - 2cos(x) + 5) dx = 3∫sin(x) dx - 2∫cos(x) dx + 5∫1 dx

= -3cos(x) - 2sin(x) + 5x + C

Bài 2.3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/x + e^x

Giải:

∫(1/x + e^x) dx = ∫(1/x) dx + ∫e^x dx

= ln|x| + e^x + C

IV. Lưu ý khi tìm nguyên hàm

• Luôn nhớ thêm hằng số tích phân C sau mỗi phép tính tích phân.
• Sử dụng các quy tắc tìm nguyên hàm cơ bản một cách linh hoạt.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được, xem có bằng hàm số ban đầu hay không.
• Đối với các hàm số phức tạp, có thể cần sử dụng các phương pháp tích phân nâng cao như tích phân từng phần hoặc đổi biến số.

V. Bài tập luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁵ - 4x³ + 7x - 2
• Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin(x) + cos(x) - 3e^x
• Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(x+1) + 4

Montoan.com.vn hy vọng với bài viết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp và có thể tự tin giải các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!