Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm - SBT Toán 12 Cánh diều

I. Giới thiệu chung về phương sai và độ lệch chuẩn

Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Phương sai (variance) là trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai.

II. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với dữ liệu được phân nhóm (mẫu số liệu ghép nhóm), chúng ta không thể tính trực tiếp phương sai và độ lệch chuẩn như với dữ liệu gốc. Thay vào đó, chúng ta sử dụng các công thức sau:

1. Phương sai (s²): s² = Σ(f_i * (x_i - x̄)²) / (n - 1)
2. Độ lệch chuẩn (s): s = √(s²)

Trong đó:

• f_i là tần số của giá trị x_i
• x_i là giá trị đại diện của nhóm thứ i
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (x̄ = Σ(f_i * x_i) / n)
• n là tổng số các giá trị trong mẫu (n = Σf_i)

III. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng số liệu sau:

Bước 1: Tính giá trị trung bình (x̄)

x̄ = (5 * 15 + 8 * 25 + 7 * 35) / (5 + 8 + 7) = (75 + 200 + 245) / 20 = 520 / 20 = 26

Bước 2: Tính phương sai (s²)

s² = [5 * (15 - 26)² + 8 * (25 - 26)² + 7 * (35 - 26)²] / (20 - 1)

s² = [5 * (-11)² + 8 * (-1)² + 7 * (9)²] / 19

s² = [5 * 121 + 8 * 1 + 7 * 81] / 19

s² = [605 + 8 + 567] / 19 = 1180 / 19 ≈ 62.11

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s)

s = √(s²) = √(62.11) ≈ 7.88

IV. Lưu ý khi tính toán

• Luôn sử dụng giá trị đại diện của mỗi nhóm (thường là trung điểm của khoảng).
• Chú ý công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm khác với công thức cho dữ liệu gốc.
• Kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo tính chính xác.

V. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Khoa học tự nhiên: Đánh giá độ tin cậy của các phép đo.
• Kinh tế: Phân tích rủi ro trong đầu tư.
• Y học: Nghiên cứu sự biến thiên của các chỉ số sinh lý.
• Giáo dục: Đánh giá sự đồng đều của kết quả học tập.

VI. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn cho bảng số liệu sau:

Nhóm	xi	fi
[0, 10)	5	10
[10, 20)	15	15
[20, 30)	25	8

2. Giải bài tập 2, 3, 4 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!