Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chào mừng bạn đến với bài học về đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều. Bài học này thuộc chương 1, tập trung vào ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các loại đường tiệm cận, cách xác định chúng và vai trò của chúng trong việc phân tích đồ thị hàm số.

Montoan.com.vn cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SBT Toán 12 - Cánh diều

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Nó giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng. Trong chương trình Toán 12, đặc biệt là sách bài tập Cánh diều, việc nắm vững kiến thức về đường tiệm cận là rất cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

Đường tiệm cận ngang: Là đường thẳng có phương trình y = a, sao cho lim_x→±∞ f(x) = a.
Đường tiệm cận đứng: Là đường thẳng có phương trình x = a, sao cho lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
Đường tiệm cận xiên: Là đường thẳng có phương trình y = mx + n, với m ≠ 0, sao cho lim_x→±∞ [f(x) - (mx + n)] = 0.

II. Cách tìm đường tiệm cận

Tìm đường tiệm cận ngang: Tính lim_x→±∞ f(x). Nếu giới hạn này hữu hạn, thì y = a là đường tiệm cận ngang.
Tìm đường tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x = a sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0. Khi đó, x = a là đường tiệm cận đứng.
Tìm đường tiệm cận xiên:
- Tính m = lim_x→±∞ f(x)/x. Nếu m ≠ 0, thì hàm số có đường tiệm cận xiên.
- Tính n = lim_x→±∞ [f(x) - mx].
- Phương trình đường tiệm cận xiên là y = mx + n.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1)/(x - 1).

Đường tiệm cận ngang:lim_x→±∞ (2x + 1)/(x - 1) = 2. Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.
Đường tiệm cận đứng: Mẫu số x - 1 = 0 khi x = 1. Vậy x = 1 là đường tiệm cận đứng.
Đường tiệm cận xiên: Không có, vì lim_x→±∞ (2x + 1)/(x - 1) = 2 (hữu hạn).

IV. Bài tập áp dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

y = (x + 2)/(x - 3)
y = (3x² + 1)/(x² - 4)
y = (x² - 1)/(x + 1)

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm đường tiệm cận, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số. Đường tiệm cận đứng không thể nằm trong tập xác định của hàm số. Ngoài ra, cần kiểm tra kỹ các giới hạn để đảm bảo kết quả chính xác.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng này nhé!