Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 - Cánh diều

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực.

I. Khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Điểm cực trị: Điểm mà tại đó hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu cục bộ.
• Cực đại cục bộ: Giá trị hàm số lớn nhất trong một khoảng nhỏ xung quanh điểm đó.
• Cực tiểu cục bộ: Giá trị hàm số nhỏ nhất trong một khoảng nhỏ xung quanh điểm đó.
• Giá trị lớn nhất trên một khoảng: Giá trị lớn nhất của hàm số trong một khoảng cho trước.
• Giá trị nhỏ nhất trên một khoảng: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng cho trước.

II. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Một hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x₀ khi:

• f'(x₀) = 0 (Đạo hàm tại x₀ bằng 0)
• f'(x₀) không đổi dấu khi x đi qua x₀.

Lưu ý rằng điều kiện cần chỉ là điều kiện để hàm số có thể đạt cực trị, không phải là điều kiện đủ.

III. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Để xác định một điểm là điểm cực đại hoặc cực tiểu, ta sử dụng các điều kiện sau:

• Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.
• Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

IV. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a, b]

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a, b], ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định) trong khoảng (a, b).
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn [a, b].
4. So sánh các giá trị này để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

V. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1, 3].

1. f'(x) = 3x² - 6x
2. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm x = -1, x = 0, x = 2, x = 3:
• f(-1) = 0
• f(0) = 2
• f(2) = -2
• f(3) = 2
4. So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất là 2 (tại x = 0 và x = 3) và giá trị nhỏ nhất là -2 (tại x = 2).

VI. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cần chú ý:

• Kiểm tra xem hàm số có liên tục trên đoạn [a, b] hay không.
• Xác định đúng các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn.
• Tính toán cẩn thận để tránh sai sót.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng này nhé!