THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 67 trang 69 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến kiến thức đã học.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho bốn điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 2} \right)\). a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\). b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \(AB\) và \(AC\). c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). d) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\
Đề bài
Cho bốn điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 2} \right)\).
a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \(AB\) và \(AC\).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
d) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\).
‒ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
‒ Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: \(Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\) với \(D = - A{x_0} - B{y_0} - C{{\rm{z}}_0}\).
‒ Để chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng, ta chứng minh điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1 - 0;0 - 1;3 - 1} \right) = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0 - 0;0 - 1;2 - 1} \right) = \left( {0; - 1;1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.0 - \left( { - 1} \right).1;\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - 0.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( {1;1;1} \right)\).
b) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
\(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\).
d) Ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 2 = - 2 \ne 0\) nên điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Vậy bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.
e) Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
\(d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 67 trang 69 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12, thường tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài 67 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 67 trang 69, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết như sau:
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm của hàm số.
Lời giải:
y' = 3x2 - 6x
Tìm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lời giải:
Để giải bài tập về đạo hàm hiệu quả, bạn nên:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Bài 67 trang 69 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà chúng tôi cung cấp, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
