Bài 3. Tích phân

Bài 3. Tích phân - SBT Toán 12 Cánh diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc củng cố kiến thức về tích phân đã học, thông qua các bài tập vận dụng và mở rộng. Để giải quyết hiệu quả các bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, và các phương pháp tính tích phân như đổi biến số, tích phân từng phần.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Nguyên hàm của một hàm số: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I.
2. Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích phân bất định của f(x), ký hiệu là ∫f(x)dx.
3. Tích phân xác định: Tích phân xác định của f(x) từ a đến b, ký hiệu là ∫_a^bf(x)dx, biểu diễn diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x = a, x = b.
4. Các phương pháp tính tích phân:
   • Đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa biểu thức tích phân.
   • Tích phân từng phần: Áp dụng khi tích phân của tích hai hàm số.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Bài 3 thường bao gồm các dạng bài tập sau:

• Tính tích phân bất định: Tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản và phức tạp.
• Tính tích phân xác định: Tính diện tích dưới đường cong của hàm số trong một khoảng xác định.
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích: Sử dụng tích phân để tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
• Bài tập kết hợp: Kết hợp các phương pháp tính tích phân để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

III. Hướng dẫn giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu

Ví dụ 1: Tính ∫(2x + 1)dx

Giải: ∫(2x + 1)dx = x² + x + C (C là hằng số tích phân)

Ví dụ 2: Tính ∫₀¹x²dx

Giải: ∫₀¹x²dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 - 0 = 1/3

IV. Mẹo giải nhanh và lưu ý quan trọng

• Luôn kiểm tra kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm để đảm bảo nó bằng với hàm số ban đầu.
• Khi sử dụng phương pháp đổi biến số, cần chọn biến số phù hợp để đơn giản hóa biểu thức tích phân.
• Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần, cần chọn u và dv một cách hợp lý để việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.
• Chú ý đến các giới hạn tích phân khi tính tích phân xác định.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Tính ∫(3x² - 2x + 1)dx
2. Tính ∫₁²(x + 1/x)dx
3. Tính ∫sin(x)dx
4. Tính ∫e^xdx

montoan.com.vn hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về tích phân. Chúc các em học tập tốt!