Đa thức một biến

Trong chương trình Toán 7, kiến thức về biểu thức đại số và đặc biệt là đa thức một biến đóng vai trò nền tảng cho các chương trình học toán ở các lớp trên. Hiểu rõ về đa thức một biến không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán đại số một cách dễ dàng mà còn phát triển tư duy logic và khả năng trừu tượng hóa.

1. Biểu thức đại số

Biểu thức đại số là sự kết hợp của các số, các chữ và các phép toán. Các chữ thường được dùng để đại diện cho các số chưa biết hoặc các đại lượng có thể thay đổi. Ví dụ: 3x + 5, a² - 2b, (x + y) / z là các biểu thức đại số.

2. Đa thức một biến

Định nghĩa: Đa thức một biến là biểu thức đại số có chứa một chữ (biến) và các số. Ví dụ: 2x³ + 5x² - 3x + 7 là một đa thức một biến với biến x.

Các thành phần của đa thức:

Biến: Chữ cái được sử dụng trong đa thức (ví dụ: x, y, z).
Hệ số: Số đứng trước biến (ví dụ: 2, 5, -3, 7 trong ví dụ trên).
Số hạng: Phần của đa thức bao gồm hệ số và biến (ví dụ: 2x³, 5x², -3x, 7).

3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức. Ví dụ:

Đa thức 2x³ + 5x² - 3x + 7 có bậc là 3.
Đa thức 4x² - 7x + 1 có bậc là 2.
Đa thức 5x - 2 có bậc là 1.
Số 8 có bậc là 0 (vì có thể viết là 8x⁰).

4. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức là quá trình thực hiện các phép toán cộng, trừ các số hạng đồng dạng để đưa đa thức về dạng đơn giản nhất.

Số hạng đồng dạng: Các số hạng có cùng biến và cùng bậc (ví dụ: 3x² và -5x² là các số hạng đồng dạng).

Ví dụ: Thu gọn đa thức 3x² + 2x - 5x² + x + 1

Tìm các số hạng đồng dạng: 3x² và -5x²; 2x và x.
Cộng các số hạng đồng dạng: (3x² - 5x²) + (2x + x) + 1 = -2x² + 3x + 1.

5. Các phép toán trên đa thức

a. Phép cộng đa thức: Cộng các số hạng đồng dạng của hai đa thức.

Ví dụ: (2x² + 3x - 1) + (x² - 2x + 5) = (2x² + x²) + (3x - 2x) + (-1 + 5) = 3x² + x + 4

b. Phép trừ đa thức: Trừ các số hạng đồng dạng của hai đa thức. Lưu ý đổi dấu các số hạng của đa thức bị trừ.

Ví dụ: (2x² + 3x - 1) - (x² - 2x + 5) = 2x² + 3x - 1 - x² + 2x - 5 = (2x² - x²) + (3x + 2x) + (-1 - 5) = x² + 5x - 6

c. Phép nhân đa thức: Sử dụng quy tắc phân phối để nhân các số hạng của hai đa thức.

Ví dụ: x(x² + 2x - 3) = x * x² + x * 2x + x * (-3) = x³ + 2x² - 3x

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về đa thức một biến, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

Tìm bậc của các đa thức sau: 5x⁴ - 2x² + 1, 7x - 3, -8.
Thu gọn các đa thức sau: 2x² + 3x - x² + 5x - 2, 4x³ - 2x² + x³ - 3x + 1.
Thực hiện các phép tính sau: (x² + 2x - 1) + (3x² - x + 2), (5x² - 3x + 4) - (2x² + x - 1).