đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hà tĩnh

Montoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán bậc THPT năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày 22/09/2022 (vòng 1) và 23/09/2022 (vòng 2).

Bộ đề thi này là một tài liệu ôn luyện vô cùng giá trị, giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, đòi hỏi tư duy sáng tạo và kiến thức vững chắc.

Trích dẫn một số bài toán tiêu biểu từ đề thi:

1. Bài 1: Cho a, b là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn a² + b² là tích của các số nguyên tố phân biệt, và mỗi số nguyên tố đó có dạng 8k - 3 với k là số tự nhiên khác 0.
   • a) Giả sử tồn tại p = 8l – 3 (l là số tự nhiên khác 0) là một ước nguyên tố của a⁴ + b⁴. Chứng minh rằng p là ước của cả a và b.
   • b) Tìm tất cả các cặp (m; n) với m, n là số nguyên sao cho a^m + bⁿ và aⁿ – b^m là các số chính phương.
2. Bài 2: Với mỗi cặp số nguyên dương (m; n), giả sử ban đầu có m + n hộp được đánh số từ 1 đến m + n, trong đó m hộp đầu tiên mỗi hộp chứa 1 bi đen và n hộp còn lại mỗi hộp chứa 1 bi trắng. Trong mỗi bước, ta được quyền chuyển một bi đen từ hộp i sang hộp i + 1 và một bi trắng từ hộp j sang hộp j – 1 với điều kiện i – j là một số chẵn.
   • a) Chứng minh rằng cặp (1; 2021) là cặp xấu.
   • b) Tìm số cặp số nguyên dương (m; n) tốt trong mỗi trường hợp m + n = 2022 và m + n = 2023.
3. Bài 3: An và Bình đến cửa hàng mua kẹo. Trong cửa hàng có các túi kẹo loại 1 chiếc, 2 chiếc, 4 chiếc … 2³⁰ chiếc. Mỗi loại có nhiều túi.
   • a) Số túi ít nhất An cần phải mua để có đúng 1000 chiếc kẹo là bao nhiêu?
   • b) Có bao nhiêu cách chọn 5 túi kẹo đôi một khác loại sao cho tổng số chiếc kẹo được chọn không vượt quá 2023 và nếu túi loại 2ⁿ được chọn (n là số tự nhiên và n ≤ 29) thì túi loại 2ⁿ⁺¹ không được chọn?
   • c) Giả sử sau khi mua, An và Bình lần lượt có n và n + 1 (n là số tự nhiên và 0 ≤ n ≤ 2023) chiếc kẹo, đồng thời An có nhiều hơn Bình 7 túi kẹo. Có bao nhiêu giá trị n thỏa mãn các điều kiện trên, biết An và Bình luôn mua ít túi nhất có thể?

Đánh giá và nhận xét:

• Bộ đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc và kỹ năng giải toán tốt.
• Các bài toán trong đề thi có tính sáng tạo, đòi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế.
• Đề thi bao gồm nhiều chủ đề khác nhau, giúp học sinh ôn tập toàn diện kiến thức môn Toán.
• Đây là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán.