đề chọn học sinh giỏi thành phố môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hải phòng

Montoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố và đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng tổ chức. Kỳ thi chính thức đã diễn ra vào ngày 20 tháng 09 năm 2022.

Bộ đề thi này là tài liệu tham khảo quý giá, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, nâng cao kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới. Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài 1: Hình học

Cho tam giác ABC nhọn, với AB < BC < CA, trọng tâm G, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H (D, E, F lần lượt là chân đường cao trên các cạnh BC, CA, AB).

• a) Đường tròn (BHC) cắt đường tròn đường kính AH tại điểm T khác H. Chứng minh rằng A, T, G thẳng hàng.
• b) Các điểm I, J, K lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho HI ⊥ AG, HJ ⊥ BG, HK ⊥ CG. Chứng minh rằng các đường tròn (AGD), (BGE), (CGF) cùng đi qua một điểm L khác G và I, J, K, L thẳng hàng.
2. Bài 2: Đại số

Chứng minh rằng phương trình (x² + 2y²)² – 2(z² + 2t²)² = 1 có vô hạn nghiệm tự nhiên.

3. Bài 3: Tổ hợp

Xâu tam phân độ dài n có dạng X = a₁a₂…a_n với a_k ∈ {0;1;2} với mọi k = 1..n. Một xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại của X có dạng Y = a_ia_i+1…a_j với 1 ≤ i ≤ j ≤ n mà a_i = a_i+1 = … = a_j, ngoài ra a_i-1 ≠ a_i (nếu i ≥ 2) và a_j ≠ a_j+1 (nếu j ≤ n – 1). Ví dụ xâu 1000211 có các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại là 1, 000, 2 và 11.

• a) Gọi A_n là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại đều có độ dài lẻ. Chứng minh rằng |A₂₀₂₃| = 2|A₂₀₂₂| + |A₂₀₂₁|.
• b) Gọi B_n là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà 0 và 2 không bao giờ đứng cạnh nhau. Chứng minh rằng |B₂₀₂₃| = |A₂₀₂₃| + |A₂₀₂₂|/3.

Đánh giá và nhận xét:

Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các lĩnh vực Hình học, Đại số và Tổ hợp. Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, có tính phân loại cao, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh. Đặc biệt, bài hình học yêu cầu sự kết hợp linh hoạt giữa các kiến thức về đường tròn, tam giác và trọng tâm. Bài đại số kiểm tra khả năng tìm nghiệm của phương trình đặc biệt, còn bài tổ hợp đòi hỏi tư duy logic và kỹ năng đếm. Đây là một đề thi chất lượng, phù hợp để học sinh luyện tập và nâng cao trình độ.