đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hải dương

Montoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương tổ chức. Kỳ thi chính thức được diễn ra vào ngày 21 tháng 09 năm 2022.

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Dương bao gồm các bài toán sau:

1. Bài hình học: Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G. Lấy E và F lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai đường thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC.
   • a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
   • b) Gọi P là điểm trên đường thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đường thẳng BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E là trung điểm của IJ.
2. Bài số học: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn: a^b + 1 | (a + 1)^c.
3. Bài tổ hợp – xác suất: Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt được màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt được tất cả các mặt thẻ úp xuống đưa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đưa vào cũng được.
   • a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là [log₂n] bước.
   • b) Xét dãy số Fibonacci (F) với F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+2 = F_n+1 + F_n với n ≥ 1. Với n ≥ 4, giả sử bạn A có F_n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn lại là các thẻ hai mặt vàng. Hỏi bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai mặt đỏ bằng cách sử dụng máy nhiều nhất n lần hay không?

Đánh giá và nhận xét:

• Đề thi có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh có năng lực và đam mê với môn Toán.
• Các bài toán trong đề thi có tính sáng tạo, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, công thức.
• Bài hình học có tính chất hình học phẳng điển hình, đòi hỏi học sinh có tư duy không gian tốt và khả năng phân tích, tổng hợp thông tin.
• Bài số học và bài tổ hợp – xác suất đòi hỏi học sinh có khả năng giải quyết vấn đề một cách logic và sáng tạo.
• Đề thi là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán.