đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2023 – 2024 sở gd&đt lạng sơn

Montoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn tổ chức. Đây là tài liệu ôn luyện vô cùng hữu ích, giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán khó.

Bộ đề bao gồm những bài toán đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức Toán học, khả năng tư duy logic và kỹ năng biến đổi linh hoạt. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Xét các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn tính chất: "Với bất kì hai số thực x, y luôn có |y² – P(x)| ≤ 2|x| khi và chỉ khi |x² – P(y)| ≤ 2|y|".
   • a) Chứng minh rằng họ đa thức P(x) = C (với C > 0) và đa thức Q(x) = x² + 1 cùng thuộc tập S.
   • b) Giả sử P(x) thuộc S và P(0) ≥ 0. Chứng minh rằng P(x) là hàm số chẵn.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Giả sử G, L, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng EF, FD, DE với BC, CA, AB tương ứng.
   • a) Chứng minh rằng G, L, K thẳng hàng.
   • b) Lấy các điểm P, Q lần lượt đối xứng với D qua B, C tương ứng. Đường tròn bàng tiếp tâm J ứng với đỉnh A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại N; gọi R là điểm đối xứng với N qua J. Chứng minh đường tròn (PQR) tiếp xúc với đường tròn (I).
3. Bài 3: Một trường có 2007 nam và 2007 nữ. Mỗi học sinh tham gia không quá 100 câu lạc bộ; biết rằng bất kì hai bạn khác giới (1 nam và 1 nữ) tham gia ít nhất cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ bao gồm ít nhất 11 nam và 11 nữ.

Đánh giá và nhận xét:

• Đề thi có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh có năng lực Toán học xuất sắc.
• Các bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đại số, hình học và tổ hợp.
• Bài toán số 1 kiểm tra khả năng phân tích và chứng minh các tính chất của đa thức.
• Bài toán số 2 là một bài hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt các định lý và tính chất của đường tròn.
• Bài toán số 3 là một bài toán tổ hợp thú vị, đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo và kỹ năng chứng minh.

Montoan.com hy vọng bộ đề này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán.