đề chọn đội tuyển thi hsg toán quốc gia năm 2020 – 2021 sở gd&đt tiền giang

Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi (HSG) Toán Quốc gia năm học 2020 – 2021 của Sở Giáo dục và Đào tạo Tiền Giang đã diễn ra vào ngày 13 và 14 tháng 10 năm 2020. Đề thi gồm hai bài, với tổng cộng bảy bài toán tự luận, được thiết kế để đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng của các thí sinh.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán đáng chú ý trong đề thi:

• Bài toán số học: Cho a, b, c là các số nguyên với a khác 0 thỏa mãn an² + bn + c là số chính phương với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên x, y sao cho a = x²; b = 2xy; c = y².

  Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng về số chính phương và khả năng biến đổi đại số linh hoạt. Yêu cầu chứng minh sự tồn tại của các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện cho thấy đề bài muốn kiểm tra khả năng tư duy logic và khả năng suy luận chặt chẽ của thí sinh. Ưu điểm của bài toán là tính tổng quát, có thể khai thác nhiều hướng tiếp cận khác nhau.

• Bài toán tổ hợp: Có 3 lớp học, mỗi lớp có n học sinh. Chiều cao của 3n bạn ở 3 lớp đôi một khác nhau. Chia 3n bạn thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 3 học sinh đến từ cả 3 lớp. Bạn cao nhất ở mỗi nhóm được nhận danh hiệu “người mẫu”. Biết rằng với mọi cách chia nhóm, mỗi lớp luôn có ít nhất 10 “người mẫu”. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của n là 40.

  Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng hiểu và vận dụng các nguyên lý tổ hợp cơ bản. Điều kiện "với mọi cách chia nhóm, mỗi lớp luôn có ít nhất 10 người mẫu" là một gợi ý quan trọng để thí sinh xây dựng lập luận. Ưu điểm của bài toán là tính thực tế, mô phỏng một tình huống chia nhóm quen thuộc, đồng thời đòi hỏi kỹ năng đếm và ước lượng tốt.

• Bài toán hình học: Cho hai đường tròn (w₁), (w₂) có cùng bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt X₁, X₂. Đường tròn (w) tiếp xúc ngoài với (w₁) tại T₁ và tiếp xúc trong với (w₂) tại T₂. Chứng minh rằng X₁T₁ cắt X₂T₂ tại một điểm trên (w).

  Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và góc. Việc chứng minh giao điểm của hai đường thẳng nằm trên một đường tròn khác cho thấy đề bài muốn kiểm tra khả năng quan sát, trực giác hình học và khả năng chứng minh bằng các phương pháp hình học cổ điển. Ưu điểm của bài toán là tính đẹp, sự kết hợp hài hòa giữa các yếu tố hình học cơ bản.

Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 của Sở GD&ĐT Tiền Giang là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, bao phủ nhiều mảng kiến thức quan trọng của chương trình Toán THPT, đồng thời đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và kỹ năng giải toán tốt.