đề chọn học sinh giỏi toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên hà nội – amsterdam

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp thành phố năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam. Đây là một nguồn tài liệu quý giá để ôn luyện và rèn luyện kỹ năng giải đề, chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.

Bộ đề bao gồm các bài toán có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ Toán học. Dưới đây là nội dung chi tiết của bộ đề:

1. Bài 1: Cho đường cong (C) có phương trình y = x³ – 3x² + 2x – 2022. Với mỗi điểm M thuộc (C), gọi d_M là tiếp tuyến của đường cong (C) tại M. Trên (C) lấy điểm M₁ có hoành độ x_M1 = 2022. Từ điểm M₁ ta xây dựng các điểm M₂, M₃, …, M_n theo quy tắc: điểm M_i+1 (i = 1, 2, …, n – 1 với n thuộc N, n ≥ 2) là điểm chung thứ hai của d_Mi (d_Mi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M_i) với đường cong (C). Gọi x_M2, x_M3,…, x_Mn theo thứ tự là hoành độ của các điểm M₂, M₃, …, M_n. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để (f(x_Mn) + x_Mn + 2021) chia hết cho 2²⁰²².

2. Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trên các đoạn thẳng BD, AB’ lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với các đỉnh của hình lập phương sao cho BM = B’N. Gọi a, b theo thứ tự là số đo góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD, AB’.

   • a) Chứng minh rằng cos²a + cos²b = 1/2.
   • b) Xác định vị trí của các điểm M, N sao cho độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất. Khi đó MN có phải đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và AB’ không?
   • c) Giả sử các điểm H, K, L (khác điểm A) theo thứ tự di động trên các tia AB, AD, AA’ thỏa mãn. Chứng minh rằng mặt phẳng (HKL) luôn đi qua một điểm cố định khi H, K, L di động thỏa mãn điều kiện trên.

3. Bài 3: Một kỳ thi học sinh giỏi được diễn ra trong 2 ngày. Điểm đánh giá mỗi ngày dùng k (k > 2) giá trị khác nhau (chẳng hạn với k = 2 thì đánh giá là “đạt” (tức là 1) hoặc “không đạt” (tức là 0); với k = 8 thì điểm số dùng để đánh giá là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7). Hãy xác định số nhiều nhất các học sinh dự thi sao cho có thể xảy ra trường hợp là trong k học sinh tùy ý, luôn có một ngày thi mà kết quả của k học sinh này đôi một khác nhau.

Đánh giá và nhận xét:

Bộ đề này có những ưu điểm sau:

• Tính chuẩn xác: Đề thi được lấy từ một trường chuyên hàng đầu, đảm bảo tính chuẩn xác và độ tin cậy.
• Độ khó đa dạng: Các bài toán trong đề có độ khó khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề Toán học ở nhiều mức độ.
• Tính ứng dụng: Các bài toán trong đề có tính ứng dụng cao, giúp học sinh hiểu sâu hơn về các khái niệm và định lý Toán học.
• Cấu trúc hợp lý: Bộ đề bao gồm các bài toán về Đại số, Hình học và Tổ hợp, giúp học sinh ôn luyện toàn diện các kiến thức Toán học.

Montoan.com hy vọng bộ đề này sẽ là một công cụ hữu ích cho quý thầy cô giáo và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Toán.