đề học sinh giỏi tỉnh toán 12 chuyên năm 2024 – 2025 sở gd&đt thừa thiên huế

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2024 – 2025, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế tổ chức. Kỳ thi chính thức diễn ra vào ngày 04 tháng 10 năm 2024.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Nội dung đề thi bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, cụ thể:

1. Bài toán số học:

   Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Đặt N = 2^2p + 1. Yêu cầu:

   • a) Chứng minh N không chia hết cho 25.
   • b) Chứng minh N có ít nhất hai ước nguyên tố lớn hơn 5.
   • c) Với q > 5 là ước nguyên tố của N, chứng minh m = 4p là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 2^m – 1 chia hết cho q.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tính chất chia hết, số nguyên tố và ứng dụng của định lý Fermat nhỏ.

2. Bài toán hình học:

   Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không đi qua O. Gọi A là điểm thay đổi trên (O) sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường phân giác trong góc BAC cắt BC và (O) lần lượt tại D và M (M khác A). Gọi E là điểm trên cạnh AC sao cho ∠AOE = ∠ABM. Yêu cầu:

   • a) Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOE không đổi.
   • b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BM, H là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với CK; N là giao điểm của AH và EM. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì điểm N luôn thuộc một đường tròn cố định.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về đường tròn, tam giác, đường phân giác, và các tính chất liên quan đến góc và đường tròn ngoại tiếp.

3. Bài toán tổ hợp:

   Cho tập hợp S gồm 12 số nguyên dương. Với số nguyên dương n ≥ 2, ta gọi n là “số phù hợp” nếu tồn tại n tập con T₁, T₂, …, T_n của S thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

   • i) Mỗi tập hợp T_k (k thuộc {1, 2, …, n}) chứa đúng 6 phần tử.
   • ii) Giao của hai tập hợp T_i, T_j (1 ≤ i < j ≤ n) tùy ý chứa không quá 2 phần tử.

   Yêu cầu:

   • a) Chứng minh 4 là một “số phù hợp”.
   • b) Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho n là “số phù hợp”.

   Nhận xét: Bài toán tổ hợp này kiểm tra khả năng tư duy logic, kỹ năng đếm và ứng dụng các nguyên lý tổ hợp.

Montoan.com hy vọng đề thi này sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh. Chúc các em đạt kết quả tốt nhất!