đề học sinh giỏi toán 9 năm 2020 – 2021 phòng gd&đt cầu giấy – hà nội

Ngày 31 tháng 10 năm 2020, Phòng Giáo dục và Đào tạo quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội đã tổ chức thành công kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp quận năm học 2020 – 2021.

Kỳ thi được đánh giá là một sân chơi bổ ích, tạo điều kiện cho học sinh có năng khiếu Toán học được thể hiện và rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán khó. Đề thi được xây dựng với cấu trúc quen thuộc, bao gồm 04 bài toán tự luận, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức sâu rộng và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Thời gian làm bài là 120 phút, đảm bảo đủ thời gian để học sinh suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết.

Trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

1. Bài toán 1: Giải phương trình x²(x² + 2) = 12 – x√(2x² + 4). Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt và khả năng sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc cao.
2. Bài toán 2: Cho a, b, c, d là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a² + b² + c² = d². Chứng minh rằng a, b, c, d không thể đồng thời là các số lẻ. Đây là một bài toán số học, yêu cầu học sinh phải hiểu rõ về tính chẵn lẻ của các số và áp dụng các tính chất của số chính phương.
3. Bài toán 3: Cho hình bình hành ABCD (A nhọn, AB > AD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AC cắt đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD tại điểm P, từ P vẽ PM vuông góc với BC (M thuộc đường thẳng BC) và PN vuông góc với CD (N thuộc đường thẳng CD). Gọi S là hình chiếu của B trên AC.
   • a. Chứng minh rằng CBS đồng dạng PCM và ACP đồng dạng BSO.
   • b. Chứng minh rằng AB² – BC² = 2CP.BS.
   • c. Chứng minh rằng M, N, O thẳng hàng.
   Bài toán hình học này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các định lý về tam giác đồng dạng, quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, cũng như kỹ năng vẽ hình và phân tích hình học.

Nhận xét chung: Đề thi có độ khó phù hợp, phân loại rõ ràng học sinh có năng lực khác nhau. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm các chủ đề đại số, số học và hình học, giúp đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng của học sinh. Việc lựa chọn các bài toán có tính ứng dụng cao cũng góp phần khuyến khích học sinh phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề trong thực tế.