đề olympic toán 10 năm 2019 cụm thpt thanh xuân & cầu giấy & thường tín – hà nội

Đề thi Olympic Toán 10 năm 2019 cụm Thanh Xuân – Cầu Giấy – Thường Tín (Hà Nội) là một bài kiểm tra học lực chuyên sâu dành cho đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 10 của ba trường THPT hàng đầu tại Hà Nội: THPT Thanh Xuân, THPT Cầu Giấy và THPT Thường Tín. Đề thi được xây dựng dưới dạng tự luận, bao gồm 5 bài toán, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách linh hoạt và sáng tạo trong thời gian 120 phút (không tính thời gian phát đề).

Đề thi được đánh giá cao về tính chuẩn xác và độ khó phù hợp, bao phủ nhiều chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, đồng thời có tính phân loại học sinh rõ ràng. Lời giải chi tiết và bài bản của đề thi đã được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của Diễn Đàn Giáo Viên Toán, cung cấp nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên.

Dưới đây là trích dẫn nội dung một số bài toán tiêu biểu:

1. Bài toán 1 (Hình học tọa độ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD, I là trung điểm của BH. Biết A(2;1) và phương trình đường chéo BD là x + 5y – 19 = 0, điểm I(42/13;41/13).
   • a) Yêu cầu viết phương trình tham số đường thẳng AH và tìm tọa độ điểm H.
   • b) Yêu cầu viết phương trình tổng quát cạnh AD.
2. Bài toán 2 (Hình học): Cho tam giác ABC với các cạnh a = BC, b = AC, c = AB. Gọi M là một điểm tùy ý.
   • a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA² + MB² + MC² theo a, b, c.
   • b) Khi a = √6 cm, b = 2 cm, c = (1 + √3) cm, tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.
3. Bài toán 3 (Đại số): Cho hàm số y = x² – 2x + 2.
   • a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.
   • b) Tìm giá trị của m để phương trình -x² + 2x – 2 – m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn: x₁ < -1 < 3 < x₂.

Nhận xét chung: Đề thi có cấu trúc rõ ràng, các bài toán được trình bày mạch lạc, yêu cầu thí sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải toán. Bài toán về hình học tọa độ đòi hỏi sự hiểu biết về các khái niệm đường thẳng, hình chiếu và trung điểm. Bài toán về hình học tam giác kiểm tra khả năng vận dụng các công thức tính diện tích, góc và định lý cosin. Bài toán về hàm số bậc hai yêu cầu thí sinh phải nắm vững kiến thức về bảng biến thiên, đồ thị và điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.