đề olympic toán 10 năm 2019 cụm trường thpt hà đông – hoài đức – hà nội

Montoan.com xin giới thiệu đến quý độc giả đề thi Olympic Toán lớp 10 năm học 2018 – 2019 dành cho cụm trường THPT Hà Đông – Hoài Đức – Hà Nội. Đề thi có cấu trúc gồm 01 trang, tập trung vào 04 bài toán tự luận, đòi hỏi thí sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách linh hoạt. Thời gian làm bài được quy định là 150 phút, với tổng điểm tối đa là 20 điểm.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài toán 1: Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và độ dài các đường cao tương ứng từ đỉnh A, B, C lần lượt là ha, hb, hc. Biết rằng asinA + bsinB + csinC = ha + hb + hc, chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
2. Bài toán 2: Cho hai tia Ax và By, với AB = 100 cm, góc xAB = 45° và By vuông góc với AB. Một chất điểm X chuyển động trên tia Ax, bắt đầu từ A với vận tốc 3√2 cm/s, đồng thời một chất điểm Y chuyển động trên tia By, bắt đầu từ B với vận tốc 4 cm/s. Sau t giây, chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM, chất điểm Y di chuyển được đoạn đường BN. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.
3. Bài toán 3: Xét phương trình x⁴ – 2(m + 2)x² + 2m + 3 = 0 (với m là tham số). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃, x₄ thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = 52.

Đánh giá và nhận xét:

• Đề thi có độ khó tương đối cao, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về lượng giác, hình học phẳng và đại số.
• Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh.
• Bài toán 1 tập trung vào việc vận dụng các công thức lượng giác và mối quan hệ giữa các yếu tố của tam giác.
• Bài toán 2 là một bài toán về chuyển động, kết hợp kiến thức về hình học và đại số để tìm giá trị nhỏ nhất.
• Bài toán 3 yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc bốn và các công thức liên hệ giữa nghiệm và hệ số.

Đây là một đề thi Olympic Toán 10 có chất lượng, là tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đang luyện thi hoặc muốn nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.