đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán thpt năm học 2023 – 2024

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024. Kỳ thi đã chính thức diễn ra vào ngày 05/01/2024 và 06/01/2024. Đi kèm với đề thi là đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn công phu, nhằm hỗ trợ tối đa quá trình ôn luyện và nâng cao kiến thức.

Bộ đề thi năm nay được đánh giá cao về tính phân loại, bao gồm các bài toán đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức nền tảng, khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo. Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu:

1. Bài toán 1: Hình học phẳng

   Cho tam giác ABC nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi A₀ là tâm của đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A, B₀ là tâm của đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, C₀ là tâm của đường tròn đi qua B và tiếp xúc với CA tại C.

   • a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A₀B₀C₀ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác ABC.
   • b) Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các đường thẳng A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀. (XYZ) cắt lại A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ tại X₀, Y₀, Z₀. Chứng minh rằng AX₀, BY₀, CZ₀ đồng quy.
2. Bài toán 2: Tổ hợp

   Người ta xếp k viên bi vào các ô của một bảng 2024 × 2024 ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).

   • a) Cho k = 2024. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.
   • b) Tìm giá trị k lớn nhất sao cho với mọi cách xếp k viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.
3. Bài toán 3: Số học và Tổ hợp không gian

   Trong không gian, cho đa diện lồi D sao cho tại mỗi đỉnh của D có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt F của D. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của D một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt F) của D, tổng các số được gán với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho 2024. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt F cũng là một số nguyên dương chia hết cho 2024.

Đánh giá và nhận xét:

• Bộ đề thi thể hiện rõ xu hướng ra đề theo hướng tích hợp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về nhiều lĩnh vực của Toán học, bao gồm Hình học, Đại số, Tổ hợp và Số học.
• Các bài toán có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích, suy luận logic và vận dụng các kỹ năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.
• Việc cung cấp đáp án và lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh tự đánh giá năng lực, rút kinh nghiệm và củng cố kiến thức.
• Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT, cũng như các thầy cô giáo trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.