đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia thpt 2019 môn toán (ngày thi thứ nhất)

Montoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2019 môn Toán – vòng 1 (VMO ngày 1). Kỳ thi được tổ chức vào ngày Chủ Nhật, 13 tháng 01 năm 2019, với cấu trúc đề thi gồm 01 trang, 04 bài toán tự luận, và thời gian làm bài là 180 phút.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài toán 1: Hình học

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp I. Trên các tia AB, AC, BC, BA, CA, CB lần lượt lấy các điểm A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ sao cho AA₁ = AA₂ = BC, BB₁ = BB₂ = CA, CC₁ = CC₂ = AB. Các cặp đường thẳng (B₁B₂, C₁C₂), (C₁C₂, A₁A₂), (A₁A₂, B₁B₂) lần lượt có các giao điểm là A’, B’, C’.

• a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không vượt quá diện tích tam giác ABC.
• b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Các đường thẳng AJ, BJ, CJ lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại R, S, T tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AST, BTR, CRS cùng đi qua một điểm K. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không cân thì IHJK là hình bình hành.
2. Bài toán 2: Giải tích

Cho hàm số liên tục f: ℝ → (0; +∞) thỏa mãn lim_x→-∞ f(x) = lim_x→+∞ f(x) = 0.

• Chứng minh rằng f(x) đạt giá trị lớn nhất trên ℝ.
• Chứng minh rằng tồn tại hai dãy (x_n), (y_n) với x_n < y_n (n = 1, 2, ...) sao cho chúng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn f(x_n) = f(y_n) với mọi n.

Đánh giá và nhận xét:

Đề thi VMO 2019 (vòng 1) được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Bài toán hình học có tính chất đối xứng cao, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất liên quan đến đường tròn, tam giác và các điểm đặc biệt. Bài toán giải tích tập trung vào việc khảo sát hàm số và chứng minh sự tồn tại của dãy số, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các khái niệm về giới hạn, tính liên tục và khả năng áp dụng các định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Ưu điểm của đề thi:

• Các bài toán có tính sáng tạo, khuyến khích thí sinh suy nghĩ đa chiều và tìm tòi các hướng giải khác nhau.
• Đề thi có sự phân hóa tốt, giúp đánh giá chính xác năng lực của thí sinh.
• Nội dung đề thi bám sát chương trình học THPT, nhưng vẫn có những yếu tố mở rộng, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức tự học và nghiên cứu.