đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia thpt môn toán năm học 2019 – 2020

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh tài năng bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020. Kỳ thi quan trọng này đã diễn ra vào các ngày 27 và 28 tháng 12 năm 2019, đánh dấu một cột mốc quan trọng trong quá trình tìm kiếm và bồi dưỡng những học sinh xuất sắc nhất trên cả nước.

Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020 (VMO 2019 – 2020) bao gồm 07 bài toán thuộc các chủ đề then chốt của chương trình Toán học phổ thông, bao gồm:

• Giới hạn dãy số
• Bất đẳng thức
• Dãy số nguyên
• Hình học phẳng
• Hệ phương trình
• Hình học phẳng (bài thứ hai)
• Tổ hợp

Đánh giá tổng quan về đề thi:

So với đề thi cùng kỳ năm trước, đề thi năm nay mang đến một diện mạo mới mẻ và có nhiều điểm khác biệt đáng chú ý. Điểm sáng của đề thi nằm ở cấu trúc phân hóa rõ ràng, với các câu hỏi được thiết kế theo hướng dẫn dắt, gợi mở, đặc biệt là ở ý a của mỗi bài. Điều này tạo điều kiện cho thí sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng hơn và có cơ hội giành điểm ngay từ đầu.

Mặc dù ý tưởng của các bài toán không hoàn toàn mới so với năm trước, nhưng vẫn đủ sức thách thức tư duy và khả năng vận dụng kiến thức của thí sinh. Theo đánh giá chung, với sự ôn luyện kỹ lưỡng, phần lớn thí sinh có thể hoàn thành tốt 4 ý a và có thể giải thêm được 1 ý b tùy vào sở trường cá nhân. Độ khó của các ý b tương đối đồng đều, tạo sự cạnh tranh công bằng giữa các thí sinh. Tuy nhiên, số lượng thí sinh giải trọn vẹn bài hình học là không nhiều, cho thấy đây là một thử thách lớn.

Ngày thi thứ hai mang đến một bất ngờ thú vị với sự xuất hiện của câu biện luận hệ phương trình và ý a của bài tổ hợp được đánh giá là khá nhẹ nhàng, tạo cơ hội cho thí sinh gỡ điểm. Các câu hệ a và tổ a được xem như là phần "cho điểm" của đề thi. Cả câu hình và tổ b cũng ở mức độ trung bình, với việc xây dựng mô hình tương đối đơn giản. Tuy nhiên, câu hệ b và tổ c thực sự là những thử thách lớn, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng xử lý tình huống linh hoạt và sáng tạo.

Nhìn chung, đề thi năm nay được đánh giá là có tính mới mẻ, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải có khả năng tư duy sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán để có thể chinh phục trọn vẹn.

Trích dẫn một số bài toán trong đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020:

+ Bài toán 1 (Tổ hợp):

Cho số nguyên dương n > 1. Ký hiệu T là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự (x, y, z) trong đó x, y, z là các số nguyên dương đôi một khác nhau và 1 ≤ x, y, z ≤ 2n. Một tập hợp A các bộ có thứ tự (u, v) được gọi là “liên kết” với T nếu với mỗi phần tử (x, y, z) ∈ T thì {(x, y),(x, z),( y, z)} ∩ A = ∅.

1. Tính số phần tử của T.
2. Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với T có đúng 2n(n − 1) phần tử.
3. Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với T có không ít hơn 2n(n− 1) phần tử.

+ Bài toán 2 (Dãy số):

Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và an+1 = 5an – 6an-1 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 2.

1. Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
2. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2^k thì (p – 1) chia hết cho 2^(k + 1) với mọi số tự nhiên k.

+ Bài toán 3 (Hình học):

Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB.

1. Gọi Ha là điểm đối xứng của H qua BC, A’ là điểm đối xứng của A qua O và Oa là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC. Chứng minh rằng HaD và OaA’ cắt nhau trên (O).
2. Lấy điểm X sao cho tứ giác AXDA’ là hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHX, ABF và ACE có một điểm chung thứ hai khác A.