Bài 1. Vecto và các phép toán trong không gian

Bài 1. Vecto và các phép toán trong không gian - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trong chương 2 của SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc xây dựng nền tảng kiến thức về vectơ trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của chương trình, giúp học sinh làm quen với các khái niệm và phép toán vectơ, phục vụ cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

I. Khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối. Một vectơ có thể được biểu diễn bằng tọa độ trong một hệ tọa độ vuông góc Oxyz, ví dụ: a = (x; y; z).

II. Các phép toán trên vectơ trong không gian

1. Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂), tổng của hai vectơ là a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).
2. Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂), hiệu của hai vectơ là a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂).
3. Phép nhân vectơ với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k, tích của vectơ a với số thực k là ka = (kx; ky; kz).

III. Các tính chất của phép toán vectơ

• Tính giao hoán của phép cộng:a + b = b + a
• Tính kết hợp của phép cộng:(a + b) + c = a + (b + c)
• Tính chất của phần tử đơn vị: Tồn tại vectơ không 0 = (0; 0; 0) sao cho a + 0 = a với mọi vectơ a.
• Tính chất của phần tử đối: Với mỗi vectơ a, tồn tại vectơ đối -a sao cho a + (-a) = 0.

IV. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.

Giải:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• 2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

V. Ứng dụng của vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, như:

• Vật lý: Biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc.
• Tin học: Xây dựng đồ họa 3D, mô phỏng chuyển động.
• Kiến trúc: Thiết kế và xây dựng các công trình.

Việc nắm vững kiến thức về vectơ trong không gian là rất quan trọng để các em có thể giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức đã học vào thực tế để hiểu sâu hơn về vectơ và các phép toán liên quan.