Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trong hình học, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Đường trung trực đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất đối xứng và các mối quan hệ trong tam giác.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Đường trung trực của một đoạn thẳng: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2. Tính chất của đường trung trực: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
3. Ba đường trung trực của một tam giác: Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
4. Tâm đường tròn ngoại tiếp: Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của ba đường trung trực. Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến mỗi đỉnh của tam giác bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

II. Ví dụ minh họa

Xét tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Khi đó, AD, BE, CF là ba đường trung trực của tam giác ABC. Ba đường thẳng này đồng quy tại điểm O, là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì AD là đường trung trực của BC.

Giải:

• Xét tam giác ABD và tam giác ACD.
• AB = AC (giả thiết)
• BD = CD (D là trung điểm của BC)
• AD là cạnh chung
• Suy ra tam giác ABD = tam giác ACD (c-g-c)
• Do đó, ∠ADB = ∠ADC (hai góc tương ứng)
• Mà ∠ADB + ∠ADC = 180° (hai góc kề bù)
• Suy ra ∠ADB = ∠ADC = 90°
• Vậy AD là đường trung trực của BC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba đường trung trực của các cạnh AB, BC, CA lần lượt cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OA = OB = OC.

Giải:

• Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB.
• Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB = OC.
• Suy ra OA = OB = OC.

IV. Mở rộng và nâng cao

Tính chất ba đường trung trực của tam giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến đường tròn ngoại tiếp. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về chủ đề này.

V. Luyện tập thêm

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác để luyện tập và củng cố kiến thức. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn trong quá trình học tập.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác. Chúc các em học tốt!