Bài 2. Cấp số cộng

Bài 2. Cấp số cộng - SGK Toán 11: Tổng quan và kiến thức trọng tâm

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai (d). Việc nắm vững khái niệm và các tính chất của cấp số cộng là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và tiến tới các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán học.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u₁, công sai là d.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Công thức này cho phép chúng ta tính bất kỳ số hạng nào của cấp số cộng chỉ cần biết số hạng đầu tiên và công sai.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:

S_n = (n/2) * (u₁ + u_n) = (n/2) * [2u₁ + (n - 1)d]

Công thức này giúp chúng ta tính tổng của một số lượng lớn các số hạng trong cấp số cộng một cách nhanh chóng và chính xác.

4. Các tính chất của cấp số cộng

• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k với mọi số nguyên k.
• Nếu u_n = 0 thì u_n-k = -u_n+k với mọi số nguyên k.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tính u₁₀ và S₁₀.

Giải:

• u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29
• S₁₀ = (10/2) * (u₁ + u₁₀) = 5 * (2 + 29) = 155

Bài tập 2: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng biết u₁ = -1 và u₃ = 5.

Giải:

Ta có u₃ = u₁ + 2d => 5 = -1 + 2d => d = 3

Vậy u₅ = u₁ + 4d = -1 + 4 * 3 = 11

6. Ứng dụng của cấp số cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính số tiền tiết kiệm hàng tháng theo lãi suất cố định.
• Tính chiều dài các cạnh của một hình vuông hoặc hình chữ nhật khi tăng dần đều.
• Tính số lượng sản phẩm được sản xuất mỗi năm khi tăng trưởng đều.

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

8. Kết luận

Bài học về cấp số cộng đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số này. Hy vọng rằng, sau bài học này, các em sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng và áp dụng kiến thức này vào thực tế.