Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng là một công cụ quan trọng để mô tả và nghiên cứu các đối tượng hình học. Bài học này sẽ đi sâu vào các khía cạnh khác nhau của phương trình đường thẳng, từ định nghĩa, các dạng phương trình, đến các ứng dụng thực tế.

1. Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Có ba dạng phương trình đường thẳng phổ biến trong không gian:

• Phương trình tham số: { x = x₀ + at; y = y₀ + bt; z = z₀ + ct }, trong đó (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c, với điều kiện a, b, c khác 0.
• Phương trình đường thẳng dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng: { Ax + By + Cz + D = 0; A'x + B'y + C'z + D' = 0 }.

Việc lựa chọn dạng phương trình phù hợp phụ thuộc vào dữ kiện bài toán cung cấp.

2. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và các đối tượng khác

Một trong những ứng dụng quan trọng của phương trình đường thẳng là xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và các đối tượng khác như điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Để làm điều này, chúng ta cần sử dụng các công cụ toán học như:

• Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng: Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng. Nếu thỏa mãn, điểm thuộc đường thẳng.
• Kiểm tra hai đường thẳng song song, cắt nhau hoặc chéo nhau: So sánh vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không.
• Kiểm tra đường thẳng song song với mặt phẳng, cắt mặt phẳng hoặc nằm trên mặt phẳng: Sử dụng tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Ứng dụng của phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Xây dựng mô hình 3D: Sử dụng phương trình đường thẳng để tạo ra các đường thẳng trong mô hình 3D.
• Điều khiển robot: Sử dụng phương trình đường thẳng để lập trình đường đi cho robot.
• Tính toán quỹ đạo của vật thể: Sử dụng phương trình đường thẳng để tính toán quỹ đạo của vật thể chuyển động trong không gian.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương u = (2, -1, 1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là: { x = 1 + 2t; y = 2 - t; z = 3 + t }.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d: (x - 1)/2 = (y + 1)/-1 = (z - 2)/1 và mặt phẳng (P): x + y + z - 4 = 0.

Giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (2, -1, 1). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1, 1, 1). Ta có u.n = 2 - 1 + 1 = 2 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn. Chúc bạn học tốt!