Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3 trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc tìm hiểu về bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh làm quen với các khái niệm và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức.

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một biểu thức toán học có dạng ax + by < c (hoặc ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by ≥ c), trong đó a và b không đồng thời bằng 0, và x, y là các biến số.

Ví dụ: 2x + 3y < 5, x - y ≤ 1, -x + 2y > 0.

2. Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn bất phương trình đó. Để biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, ta thực hiện các bước sau:

Vẽ đường thẳng ax + by = c.
Xác định điểm kiểm tra (thường là gốc tọa độ O(0, 0)).
Thay tọa độ điểm kiểm tra vào bất phương trình.
Nếu bất phương trình đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm kiểm tra. Nếu bất phương trình sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm kiểm tra.

3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, quản lý.
Mô tả các ràng buộc trong các bài toán quy hoạch tuyến tính.
Xác định vùng khả thi trong các bài toán thực tế.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x + y ≤ 4.

Giải:

Vẽ đường thẳng 2x + y = 4.
Thay điểm O(0, 0) vào bất phương trình: 2(0) + 0 ≤ 4 (đúng).
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ O(0, 0).

Ví dụ 2: Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một khu vườn hình chữ nhật. Hỏi khu vườn có kích thước như thế nào để diện tích lớn nhất?

Giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y. Ta có chu vi khu vườn là 2(x + y) = 100, suy ra x + y = 50. Diện tích khu vườn là S = xy. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của S với điều kiện x + y = 50 và x, y > 0.

Từ x + y = 50, ta có y = 50 - x. Thay vào S = xy, ta được S = x(50 - x) = 50x - x². Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta giải phương trình S' = 50 - 2x = 0, suy ra x = 25. Khi đó y = 50 - 25 = 25. Vậy khu vườn có kích thước 25m x 25m để diện tích lớn nhất.