Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - SGK Toán 7 - Kết nối tri thức

I. Lý thuyết cơ bản

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Ngược lại, cạnh lớn hơn đối diện với góc lớn hơn. Điều này được thể hiện qua bất đẳng thức sau:

• Nếu ∠A > ∠B thì a > b
• Nếu a > b thì ∠A > ∠B

II. Chứng minh định lý

Để chứng minh định lý này, ta xét tam giác ABC. Giả sử ∠B > ∠C. Ta cần chứng minh AB > AC.

Chứng minh:

1. Trên cạnh AB, lấy điểm D sao cho AD = AC.
2. Nối D với C.
3. Xét tam giác ADC, vì AD = AC nên ∠ADC = ∠ACD.
4. Vì ∠B > ∠C nên ∠B - ∠C > 0.
5. ∠ADB là góc ngoài của tam giác ADC nên ∠ADB = ∠DAC + ∠ACD.
6. Do đó, ∠ADB = ∠DAC + ∠ADC.
7. Vì ∠B > ∠C nên ∠ADB > ∠DAC.
8. Suy ra AB > AD.
9. Mà AD = AC nên AB > AC.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ∠A = 80°, ∠B = 60°. Hỏi cạnh nào lớn nhất, cạnh nào nhỏ nhất?

Giải:

Vì ∠A > ∠B > ∠C (∠C = 180° - 80° - 60° = 40°) nên BC > AC > AB.

Ví dụ 2: Cho tam giác PQR có PQ = 5cm, QR = 7cm, RP = 6cm. Hỏi góc nào lớn nhất, góc nào nhỏ nhất?

Giải:

Vì QR > RP > PQ nên ∠P > ∠Q > ∠R.

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác MNP có ∠M = 70°, ∠N = 50°. Tính ∠P.

Bài 2: Cho tam giác DEF có DE = 4cm, EF = 6cm, DF = 5cm. Sắp xếp các góc của tam giác theo thứ tự tăng dần.

V. Mở rộng

Định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác là một công cụ quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác. Các em có thể áp dụng định lý này để so sánh độ dài các cạnh, so sánh độ lớn các góc, và chứng minh các tính chất khác của tam giác.

Ngoài ra, các em cũng cần lưu ý đến bất đẳng thức tam giác, đó là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Bất đẳng thức tam giác cũng là một công cụ hữu ích để kiểm tra tính hợp lệ của một tam giác.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Chúc các em học tập tốt!