Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Bài 33. Đạo hàm cấp hai - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, giúp chúng ta phân tích tính chất lồi lõm, điểm uốn và các đặc điểm quan trọng khác của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của f'(x). Nói cách khác:

f''(x) = (f'(x))'

2. Công thức tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số cơ bản

Dưới đây là công thức tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số thường gặp:

Hàm số f(x)	Đạo hàm cấp hai f''(x)
f(x) = c (hằng số)	f''(x) = 0
f(x) = xⁿ	f''(x) = n(n-1)x^n-2
f(x) = sin(x)	f''(x) = -sin(x)
f(x) = cos(x)	f''(x) = -cos(x)
f(x) = e^x	f''(x) = e^x
f(x) = ln(x)	f''(x) = -1/x²

3. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định tính lồi lõm của hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, hàm số f(x) lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, hàm số f(x) lõm trên khoảng đó.
Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà tại đó hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Điểm uốn xảy ra khi f''(x) = 0 và f''(x) đổi dấu.
Nghiên cứu chuyển động: Trong vật lý, đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Giải:

Tính đạo hàm cấp một: f'(x) = 3x² + 4x - 5
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x + 4

Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của hàm số f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1.

Giải:

Tính đạo hàm cấp một: f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 12x² - 24x + 12 = 12(x-1)²
Giải phương trình f''(x) = 0: 12(x-1)² = 0 => x = 1
Kiểm tra sự đổi dấu của f''(x) tại x = 1: Vì f''(x) luôn dương (hoặc bằng 0) nên x = 1 không phải là điểm uốn.

5. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai, bạn nên tự giải thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức. montoan.com.vn sẽ cung cấp thêm các bài tập và lời giải chi tiết trong thời gian tới.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm cấp hai. Chúc bạn học tập tốt!