Bài 4. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Trong thống kê, việc không chỉ xác định giá trị trung tâm của một tập dữ liệu mà còn đo lường mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung tâm đó là vô cùng quan trọng. Bài học này sẽ giới thiệu các số đặc trưng chính để đo lường sự phân tán này.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên (R) như sau:

R = X_max - X_min

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Khoảng biến thiên là 10 - 2 = 8.

2. Phương sai (Variance)

Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một mẫu số liệu so với giá trị trung bình. Phương sai được tính bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình.

Công thức tính phương sai (S²) cho mẫu số liệu:

S² = ∑(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

x_i là giá trị thứ i trong mẫu số liệu
x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu
n là số lượng giá trị trong mẫu số liệu

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Giá trị trung bình x̄ = 6. Phương sai được tính như sau:

S² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / (5-1) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 4 = 40 / 4 = 10

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

Công thức tính độ lệch chuẩn (S):

S = √S²

Ví dụ: Sử dụng mẫu số liệu trên, độ lệch chuẩn là S = √10 ≈ 3.16.

4. Ý nghĩa của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi của dữ liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết mức độ tập trung của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Giá trị phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán. Ngược lại, giá trị càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung.

5. Bài tập vận dụng

Cho bảng thống kê điểm kiểm tra Toán của 10 học sinh:

Điểm	Số học sinh
5	2
6	3
7	3
8	2

Hãy tính khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này.

6. Kết luận

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về thống kê và ứng dụng vào thực tế một cách hiệu quả.