Bài 4. Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một tam giác đóng vai trò quan trọng trong việc chia tam giác thành các phần nhỏ hơn và thiết lập các mối quan hệ tỷ lệ giữa các cạnh. Bài 4 trong sách giáo khoa Toán 8 tập 2, chương 8 của nhà xuất bản Cánh diều tập trung vào việc khám phá và chứng minh các tính chất cơ bản của đường phân giác.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện và chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Nói cách khác, nếu AD là đường phân giác của tam giác ABC (D nằm trên BC) thì BD = CD.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác được thể hiện qua định lý sau:

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

Cụ thể, nếu AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC, thì ta có:

AB/AC = BD/CD

3. Chứng minh định lý

Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác. Kẻ đường thẳng song song với AB từ D cắt AC tại E. Khi đó, ta có:

DE // AB (theo cách kẻ)
∠DAE = ∠BAE (AD là phân giác góc BAC)
∠ADE = ∠BAE (so le trong do DE // AB)

Suy ra, tam giác ADE cân tại A, do đó AE = DE. Mặt khác, do DE // AB, ta có:

CD/CA = DE/AB

Thay AE = DE, ta được:

CD/CA = AE/AB

Từ đó suy ra AB/AC = BD/CD (đpcm).

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỷ lệ cạnh. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

Tính độ dài các đoạn thẳng: Sử dụng tính chất đường phân giác để tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh bị chia bởi đường phân giác.
Chứng minh các đẳng thức tỷ lệ: Áp dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các đẳng thức tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác.
Giải các bài toán thực tế: Sử dụng tính chất đường phân giác để giải các bài toán liên quan đến hình học trong thực tế.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, và AD là đường phân giác của góc BAC (D nằm trên BC). Tính BD và CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

AB/AC = BD/CD

6/9 = BD/CD

BD/CD = 2/3

Suy ra BD = (2/5)BC và CD = (3/5)BC. Để tính BD và CD, ta cần biết độ dài BC. Nếu BC = 10cm thì BD = 4cm và CD = 6cm.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về tính chất đường phân giác, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, và AD là đường phân giác của góc BAC. Tính BD và CD biết BC = 12cm.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 6cm, và BC = 10cm. AD là đường phân giác của góc BAC. Tính BD và CD.

7. Kết luận

Bài 4. Tính chất đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của đường phân giác sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn. Chúc các em học tập tốt!