THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác trong chương trình Toán 8 - Cánh diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về đường phân giác, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, tính chất và ứng dụng của đường phân giác trong tam giác, đồng thời luyện tập thông qua các ví dụ minh họa cụ thể.
Đường phân giác của tam giác có tính chất gì?
Định lí
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
AD là đường phân giác của góc A trong \(\Delta ABC\), \(D \in BC\)
\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Ví dụ:
RS là tia phân giác của góc \(\widehat {PRQ}\). Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{SQ}}{{SR}} = \frac{{RQ}}{{RP}}\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow x = 12\end{array}\)
Vậy độ dài đoạn thẳng RQ là 12.
Đường phân giác của một góc của tam giác là tia phân giác của góc đó. Nói cách khác, đường phân giác chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm nằm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác là:
Tính chất này còn được gọi là định lý đường phân giác.
Để chứng minh định lý đường phân giác, ta có thể sử dụng phương pháp diện tích. Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác. Ta có:
Diện tích tam giác ABD = (1/2) * AB * AD * sin(BAD)
Diện tích tam giác ACD = (1/2) * AC * AD * sin(CAD)
Vì AD là đường phân giác nên góc BAD = góc CAD. Do đó:
Diện tích tam giác ABD / Diện tích tam giác ACD = (AB * sin(BAD)) / (AC * sin(CAD)) = AB/AC
Mặt khác, hai tam giác ABD và ACD có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Do đó, tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số các cạnh đáy:
Diện tích tam giác ABD / Diện tích tam giác ACD = BD/DC
Từ hai kết quả trên, ta có: AB/AC = BD/DC
Tính chất đường phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ cạnh. Ví dụ:
Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm. AD là đường phân giác của góc BAC. Tính BD và DC.
Giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
AB/AC = BD/DC
6/9 = BD/DC
BD/DC = 2/3
Mà BD + DC = BC = 10cm
Suy ra BD = (2/5) * 10 = 4cm
DC = (3/5) * 10 = 6cm
Khi sử dụng tính chất đường phân giác, cần chú ý:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều. Chúc bạn học tốt!
