Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8 Cánh diều

Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ: \(a + b = b + a;a(a + 2) = {a^2} + 2a\) là những hằng đẳng thức.

\({a^2} - 1 = 3a;a(a - 1) = 2a\) không phải là những hằng đẳng thức.

1. Bình phương của một tổng là gì?

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({101^2} = {(100 + 1)^2} = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} = 10201\)

2. Bình phương của một hiệu là gì?

\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({99^2} = {(100 - 1)^2} = {100^2} - 2.100.1 + {1^2} = 9801\)

3. Hiệu hai bình phương là gì?

\({A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)\)

Ví dụ: \({101^2} - {99^2} = (101 - 99)(101 + 99) = 2.200 = 400\)

4. Lập phương của một tổng là gì?

\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

Ví dụ: \({\left( {x + 3} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}.3 + 3x{.3^2} + {3^3} = {x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\)

5. Lập phương của một hiệu là gì?

\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

Ví dụ: \({\left( {x - 3} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}.3 + 3x{.3^2} - {3^3} = {x^3} - 9{x^2} + 27x - 27\)

6. Tổng hai lập phương là gì?

\({A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

Ví dụ: \({x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = (x + 2)({x^2} - 2x + 4)\)

7. Hiệu hai lập phương là gì?

\({A^3} - {B^3} = (A - B)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

Ví dụ: \({x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)

Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ SGK Toán 8 - Cánh diều 1

Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ SGK Toán 8 - Cánh diều

Hằng đẳng thức đáng nhớ là những biểu thức đại số luôn đúng với mọi giá trị của biến. Việc nắm vững các hằng đẳng thức này không chỉ giúp giải toán nhanh chóng mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản

Bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Bình phương của một hiệu: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Hiệu hai bình phương: a² - b² = (a + b)(a - b)
Lập phương của một tổng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Lập phương của một hiệu: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Hiệu hai lập phương: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính (x + 2)²

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b², ta có:

(x + 2)² = x² + 2 * x * 2 + 2² = x² + 4x + 4

Ví dụ 2: Tính (3x - 1)³

Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³, ta có:

(3x - 1)³ = (3x)³ - 3 * (3x)² * 1 + 3 * (3x) * 1² - 1³ = 27x³ - 27x² + 9x - 1

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Khai triển biểu thức (x - 3)²

Bài 2: Phân tích đa thức x² - 4 thành nhân tử

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức (2x + 1)³ khi x = 1

4. Mở rộng và ứng dụng

Các hằng đẳng thức đáng nhớ không chỉ được sử dụng trong việc khai triển và phân tích đa thức mà còn có ứng dụng rộng rãi trong việc giải phương trình, rút gọn biểu thức và chứng minh các đẳng thức khác.

5. Lưu ý quan trọng

Nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản là điều kiện tiên quyết để giải quyết các bài toán liên quan.
Luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và kỹ năng.
Sử dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt và sáng tạo để giải quyết các bài toán phức tạp.

6. Bảng tổng hợp các hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức	Công thức
Bình phương của một tổng	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Bình phương của một hiệu	(a - b)² = a² - 2ab + b²
Hiệu hai bình phương	a² - b² = (a + b)(a - b)
Lập phương của một tổng	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Lập phương của một hiệu	(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Tổng hai lập phương	a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Hiệu hai lập phương	a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)