Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều

1. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều 1

\(\begin{array}{l}\Delta ABC,\Delta A'B'C',\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}},\widehat {A'} = \widehat A\\ \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\,(c.g.c)\end{array}\)

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông

Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều 2

\(\Delta ABC,\Delta MNP,\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MP}}{{AC}},\widehat M = \widehat A = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta MNP \backsim \Delta ABC\,\)(2cgv)

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều 3

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều

Trong chương trình Toán 8, việc nắm vững các trường hợp đồng dạng tam giác là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác, được trình bày trong sách giáo khoa Toán 8 - Cánh diều. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về điều kiện, cách chứng minh và ứng dụng của trường hợp này.

1. Phát biểu Trường hợp đồng dạng thứ hai

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì tạo ra một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Nói cách khác, cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB tại M và AC tại N sao cho MN // BC. Khi đó, tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC.

2. Chứng minh Trường hợp đồng dạng thứ hai

Chứng minh trường hợp đồng dạng thứ hai dựa trên việc chứng minh hai góc tương ứng bằng nhau. Cụ thể:

∠A là góc chung của hai tam giác AMN và ABC.
Vì MN // BC nên ∠AMN = ∠ABC (cặp góc so le trong).

Do đó, theo tiêu chuẩn góc - góc (g-g), tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC.

3. Hệ quả của Trường hợp đồng dạng thứ hai

Trường hợp đồng dạng thứ hai là một công cụ mạnh mẽ để chứng minh hai tam giác đồng dạng trong nhiều bài toán hình học. Nó đặc biệt hữu ích khi ta có thông tin về một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

4. Ứng dụng của Trường hợp đồng dạng thứ hai trong giải toán

Trường hợp đồng dạng thứ hai được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

Tính độ dài các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác đồng dạng.
Tính tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.
Chứng minh các tính chất hình học liên quan đến tam giác đồng dạng.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc AB, điểm N thuộc AC sao cho AM = 4cm, MB = 6cm, AN = 5cm, NC = 7.5cm. Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC.

Giải:

Ta có: AM/AB = 4/(4+6) = 4/10 = 2/5
AN/AC = 5/(5+7.5) = 5/12.5 = 2/5
Suy ra: AM/AB = AN/AC
Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh - cạnh (c-c), tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc AB, điểm E thuộc AC sao cho DE // BC. Biết AD = 3cm, DB = 5cm, AE = 6cm. Tính độ dài EC.

Giải:

Vì DE // BC nên tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC (trường hợp đồng dạng thứ hai).

Suy ra: AD/AB = AE/AC

AB = AD + DB = 3 + 5 = 8cm

AC = AE + EC

Thay số vào tỉ lệ thức, ta có: 3/8 = 6/(6+EC)

Giải phương trình, ta được: EC = 8cm

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về Trường hợp đồng dạng thứ hai, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc AB, điểm N thuộc AC sao cho MN // BC. Biết AM = 2cm, MB = 4cm, AN = 3cm. Tính độ dài NC.
Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc AB, điểm E thuộc AC sao cho DE // BC. Biết AD = 5cm, DB = 3cm, AE = 8cm. Tính độ dài EC.

7. Kết luận

Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác là một kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài toán hình học.