montoan.com.vn xin giới thiệu Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 1. Đề thi được biên soạn bám sát chương trình học, giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, bao phủ các chủ đề quan trọng trong chương trình học kì 2. Đi kèm với đề thi là đáp án chi tiết, giúp học sinh tự đánh giá kết quả và rút kinh nghiệm.
Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên khoảng \((0; + \infty )\)?
\(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(f(x) = - \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Hàm số \(F(x) = 2{x^9} + 1945\) là nguyên hàm của hàm số
\(f(x) = 18{x^8}\)
\(f(x) = 18{x^8} + 1945\)
\(f(x) = 18{x^8} + C\)
\(f(x) = \frac{{{x^{10}}}}{5} + 1945x\)
Cho \(\int\limits_2^3 {f(x)dx} = 1\) và \(\int\limits_2^3 {g(x)dx} = 4\). Khi đó \(\int\limits_2^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} \) bằng
5
3
-3
4
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + 2\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\)
Tính \(\int\limits_0^2 {\left( {6{x^2} - 2x} \right)dx} \) được kết quả bằng
11
12
8
6
Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số y = f(x). Gọi S là diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình. Chọn khẳng định đúng.
\(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(S = \int\limits_0^{ - 2} {f(x)dx} + \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {f(x)dx} \)
Trong không gian Oxyz , vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) là
\(\overrightarrow u = (2;3;1)\)
\(\overrightarrow u = (1;3;1)\)
\(\overrightarrow u = (3;2;1)\)
\(\overrightarrow u = (2;3; - 1)\)
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?
x + 20 = 0
x – 2019 = 0
y + 5 = 0
2x + 5y – 8z = 0
Trong không gian Oxyz , xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
I(1;4;-2), R = 3
(-1;-4;2), R = 3
(1;4;-2), R = 9
I(-1;-4;2), R = 9
Góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): -x + y + 2z + 2 = 0 bằng
\({30^o}\)
\({45^o}\)
\({60^o}\)
\({90^o}\)
Cho điểm A(4;0;1) và B(-2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có một vecto pháp tuyến là
\(\overrightarrow n = (3; - 1; - 1)\)
\(\overrightarrow n = (2;2;2)\)
\(\overrightarrow n = (1;1;2)\)
\(\overrightarrow n = (6;2;2)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0 và 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
(P) // (Q)
(P) cắt (Q)
(Q) cắt (R)
(R) // (P)
Cho hình phẳng được tô trong hình bên.
a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \(\frac{1}{3}\).
c) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} \).
d) Thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): \(y = {x^2}\); (C): \(y = \sqrt x \) quanh trục Oy bằng \(\frac{{3\pi }}{{10}}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x − my + 1 = 0 và (Q): 5y + 12z + 3 = 0.
a) Tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi m = 0.
c) Với m = 4 thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) gần bằng \(42,{4^o}\).
d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng \({60^o}\) khi và chỉ khi \(m = \pm \frac{{39}}{{\sqrt {407} }}\).
Tại một lễ hội dân gian hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \(Q(t) = 8{t^3} - 144{t^2} + 576t\), trong đó t tính bằng giờ \((0 \le t \le 14)\), Q’(t) tính bằng khách/giờ. Sau 1 giờ đã có 300 người có mặt. Hỏi số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là bao nhiêu?
Đáp án:
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc là một đường parabol có đỉnh I(3;10) và trục đối xứng vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính quãng đường vật di chuyển được trong nửa thời gian sau của chuyển động đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục và tính theo đơn vị km).
Đáp án:
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oyz) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm A(-1;1;2), B(2;1;3). Hỏi đường ống nước nói trên nghiêng bao nhiêu độ so với mặt phẳng nằm ngang (kết quả làm tròn đến độ)?
Đáp án:
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang ABCD vuông tại A và B với độ dài AB = 9 m, AD = 5 m và BC = 6 m như hình vẽ. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và A, B, C, D có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí C bằng cách giữ nguyên độ cao ở A, giảm độ cao của sân ở vị trí B và D xuống thấp hơn độ cao ở A lần lượt là 6 cm và 3,6 cm. Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở C xuống bao nhiêu cm so với độ cao ở A (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp án:
Cho \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1\\2x - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ge 1\\x < 1\end{array}\). Tính \(J = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \).
Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một đoạn đường hầm bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích \(({m^3})\) khối bê tông để đổ đủ đoạn đường hầm, biết đường cong trong hình vẽ là các đường parabol.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(−1;2;0), C(3;−1;2) và M là điểm thuộc mặt phẳng \((\alpha )\): 2x − y + 2z + 7 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\).
Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên khoảng \((0; + \infty )\)?
\(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(f(x) = - \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Đáp án : C
F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x).
Ta có \(F'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}\) nên F(x) là nguyên hàm của \(f(x) = \frac{1}{x}\).
Hàm số \(F(x) = 2{x^9} + 1945\) là nguyên hàm của hàm số
\(f(x) = 18{x^8}\)
\(f(x) = 18{x^8} + 1945\)
\(f(x) = 18{x^8} + C\)
\(f(x) = \frac{{{x^{10}}}}{5} + 1945x\)
Đáp án : A
F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x).
Ta có \(F'(x) = \left( {2{x^9} + 1945} \right)' = 18{x^8}\) nên F(x) là nguyên hàm của \(f(x) = 18{x^8}\).
Cho \(\int\limits_2^3 {f(x)dx} = 1\) và \(\int\limits_2^3 {g(x)dx} = 4\). Khi đó \(\int\limits_2^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} \) bằng
5
3
-3
4
Đáp án : A
Áp dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
\(\int\limits_2^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_2^3 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {g(x)dx} = 1 + 4 = 5\).
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + 2\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} = \int {\left( {5{x^4} + {x^{ - 3}}} \right)dx} = 5.\frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C\)
\( = 5.\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
\(F(1) = 0 \Leftrightarrow {1^5} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\).
Tính \(\int\limits_0^2 {\left( {6{x^2} - 2x} \right)dx} \) được kết quả bằng
11
12
8
6
Đáp án : B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Áp dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} - \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
\(\int\limits_0^2 {\left( {6{x^2} - 2x} \right)dx} = \left( {6.\frac{{{x^3}}}{3} - 2.\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. = \left( {2{x^3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. = {2.2^3} - {2^2} = 12\).
Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số y = f(x). Gọi S là diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình. Chọn khẳng định đúng.
\(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(S = \int\limits_0^{ - 2} {f(x)dx} + \int\limits_0^1 {f(x)dx} \)
\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {f(x)dx} \)
Đáp án : B
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Quan sát hình vẽ, phần tô đậm được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành y = 0. Trên [-2;0] ta thấy \(f(x) \ge 0\) và trên [0;1] ta thấy \(f(x) \le 0\).
Diện tích hình phẳng được tô đậm là
\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f(x) - 0} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^1 {f(x)dx} \).
Trong không gian Oxyz , vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) là
\(\overrightarrow u = (2;3;1)\)
\(\overrightarrow u = (1;3;1)\)
\(\overrightarrow u = (3;2;1)\)
\(\overrightarrow u = (2;3; - 1)\)
Đáp án : A
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = (2;3;1)\) làm một vecto chỉ phương.
Vecto chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) là \(\overrightarrow u = (2;3;1)\).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?
x + 20 = 0
x – 2019 = 0
y + 5 = 0
2x + 5y – 8z = 0
Đáp án : D
Thay tọa độ O(0;0;0) vào từng phương trình mặt phẳng. Nếu thỏa mãn phương trình thì mặt phẳng đó đi qua gốc tọa độ.
Ta thấy 2.0 + 5.0 – 8.0 = 0 nên O(0;0;0) thuộc mặt phẳng 2x + 5y – 8z = 0.
Trong không gian Oxyz , xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
I(1;4;-2), R = 3
(-1;-4;2), R = 3
(1;4;-2), R = 9
I(-1;-4;2), R = 9
Đáp án : A
Đường tròn tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z + c} \right)^2} = {R^2}\).
Đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm I(1;4;-2) và bán kính R = 3.
Góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): -x + y + 2z + 2 = 0 bằng
\({30^o}\)
\({45^o}\)
\({60^o}\)
\({90^o}\)
Đáp án : C
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n{\rm{\;}} = \left( {A;B;C} \right),\vec n'{\rm{\;}} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
\(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {1.( - 1) + 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {(P),(Q)} \right) = {60^o}\).
Cho điểm A(4;0;1) và B(-2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có một vecto pháp tuyến là
\(\overrightarrow n = (3; - 1; - 1)\)
\(\overrightarrow n = (2;2;2)\)
\(\overrightarrow n = (1;1;2)\)
\(\overrightarrow n = (6;2;2)\)
Đáp án : A
Mặt phẳng trung trực của AB vuông góc với đường thẳng AB nên nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một vecto pháp tuyến.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nhận một vecto cùng phương với \(\overrightarrow {AB} = ( - 2 - 4;2 - 0;3 - 1) = ( - 6;2;2)\) làm vecto pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow n = (3; - 1; - 1) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0 và 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
(P) // (Q)
(P) cắt (Q)
(Q) cắt (R)
(R) // (P)
Đáp án : D
Xét tỉ lệ các hệ số.
Các vecto pháp tuyến tương ứng với ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;6; - 4)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = (5;15; - 10)\) và \(\overrightarrow {{n_R}} = (6;18; - 12)\).
Mà \(\frac{5}{2} = \frac{{15}}{6} = \frac{{ - 10}}{{ - 4}} = \frac{{20}}{8}\) nên (P) trùng (Q).
Lại có \(\frac{6}{2} = \frac{{18}}{6} = \frac{{ - 12}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 24}}{8}\) nên (P) // (R).
Cho hình phẳng được tô trong hình bên.
a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \(\frac{1}{3}\).
c) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} \).
d) Thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): \(y = {x^2}\); (C): \(y = \sqrt x \) quanh trục Oy bằng \(\frac{{3\pi }}{{10}}\).
a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \(\frac{1}{3}\).
c) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} \).
d) Thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): \(y = {x^2}\); (C): \(y = \sqrt x \) quanh trục Oy bằng \(\frac{{3\pi }}{{10}}\).
Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số liên tục trên [a;b] y = f(x), y = g(x), đường thẳng x = a, x = b.
a) Quan sát đồ thị và nhận xét.
b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
c) Áp dụng công thức tính thể tích vật thể quay quanh trục Ox \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
d) Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số liên tục trên [a;b] x = f(y), x = g(y), đường thẳng y = a, y = b.
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể quay quanh trục Oy \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dx} \).
a)Đúng. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Đúng. Quan sát khoảng (0;1), thấy đồ thị \(y = \sqrt x \) nằm phía trên đồ thị \(y = {x^2}\).
Do đó, trong khoảng (0;1) ta có \(\sqrt x > {x^2}\).
Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} = \left( {\frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array} = \frac{2}{3}{{.1}^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{1^3}}}{3}} \right. = \frac{1}{3}\).
c) Sai. Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là:
\({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {x - {x^4}} \right]dx} \).
d) Đúng. Vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng \(x = \sqrt y \) và \(x = {y^2}\) quanh trục Oy.
Quan sát đồ thị, ta thấy trong khoảng giá trị (0;1) của y, giá trị x của hàm số \(x = \sqrt y \) lớn hơn giá trị x của hàm số \(x = {y^2}\). Do đó \(\sqrt y > {y^2}\).
Thể tích của vật đó là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {y - {y^4}} \right]dx} = \frac{{3\pi }}{{10}}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x − my + 1 = 0 và (Q): 5y + 12z + 3 = 0.
a) Tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi m = 0.
c) Với m = 4 thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) gần bằng \(42,{4^o}\).
d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng \({60^o}\) khi và chỉ khi \(m = \pm \frac{{39}}{{\sqrt {407} }}\).
a) Tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi m = 0.
c) Với m = 4 thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) gần bằng \(42,{4^o}\).
d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng \({60^o}\) khi và chỉ khi \(m = \pm \frac{{39}}{{\sqrt {407} }}\).
Xác định vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng và áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.
a)Sai. \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (3; - m;0)\) và \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (0;5;12)\).
Để (P) // (Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = k\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \Leftrightarrow (3; - m;0) = k(0;5;12)\), mà không có giá trị k nào thỏa mãn.
Vậy không có giá trị k nào để (P) // (Q).
b) Đúng. Để \((P) \bot (Q) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0 \Leftrightarrow 3.0 - m.5 + 0.12 = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
c) Sai. \(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {3.0 - m.5 + 0.12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - m)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {5^2} + {{12}^2}} }}\)
\( = \frac{{\left| {3.0 - 4.5 + 0.12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{20}}{{5.13}} = \frac{4}{{13}}\).
\( \Rightarrow \cos \left( {(P),(Q)} \right) \approx 72,{08^o}\).
d) Sai. \(\cos {60^o} = \frac{{\left| {3.0 - m.5 + 0.12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - m)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {5^2} + {{12}^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {5m} \right|}}{{13\sqrt {{m^2} + 9} }}\)
\( \Leftrightarrow 13\sqrt {{m^2} + 9} = 10\left| m \right| \Leftrightarrow 169\left( {{m^2} + 9} \right) = 100{m^2} \Leftrightarrow 69{m^2} = - 1521\) (vô nghiệm).
Tại một lễ hội dân gian hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \(Q(t) = 8{t^3} - 144{t^2} + 576t\), trong đó t tính bằng giờ \((0 \le t \le 14)\), Q’(t) tính bằng khách/giờ. Sau 1 giờ đã có 300 người có mặt. Hỏi số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm nguyên hàm Q(t) của Q’(t) và tìm giá trị lớn nhất của Q(t) trên đoạn [0;14].
Hàm số biểu diễn số lượng khách sau t giờ là:
\(Q(t) = \int {Q'(t)dt} = \int {\left( {8{t^3} - 144{t^2} + 576t} \right)dt} = 8.\frac{{{t^4}}}{4} - 144.\frac{{{t^3}}}{3} + 576.\frac{{{t^2}}}{2} + C = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + C\).
Vì sau 1 giờ có 300 người có mặt nên \(Q(1) = 300 \Leftrightarrow {2.1^4} - {48.1^3} + {288.1^2} + C = 300 \Leftrightarrow C = 58\).
Suy ra \(Q(t) = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + 58\).
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của Q(t) trên đoạn [0;14].
Xét \(Q'(t) = 0 \Leftrightarrow 8{t^3} - 144{t^2} + 576t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 12\\t = 6\\t = 0\end{array} \right.\).
Ta có: \(Q(0) = 58\); \(Q(6) = 2650\); \(Q(12) = 58\); \(Q(14) = 1626\).
Do đó Q(6) = 2650 là giá trị lớn nhất của \(Q(t) = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + 58\) trên đoạn [0;14].
Như vậy số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là 2650.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc là một đường parabol có đỉnh I(3;10) và trục đối xứng vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính quãng đường vật di chuyển được trong nửa thời gian sau của chuyển động đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục và tính theo đơn vị km).
Đáp án:
Đáp án:
Tìm hàm v(t) biểu diễn vận tốc theo thời gian t và tính \(\int\limits_2^4 {v(t)dt} \).
Đồ thị hàm vận tốc là một đường parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên hàm vận tốc có dạng \(v(t) = a{t^2} + bt + c\) \((a < 0)\).
Parabol đi qua điểm có tọa độ (0;1) và có đỉnh I(3;10) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = a{.0^2} + b.0 + c\\10 = a{.3^2} + b.3 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\9a + 3b = 9\\6a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a = - 1\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow v(t) = - {t^2} + 6t + 1\).
Quãng đường vật đi được trong nửa thời gian sau của chuyển động là:
\(s(t) = \int\limits_2^4 {v(t)dt} = \int\limits_2^4 {\left( { - {t^2} + 6t + 1} \right)dt} = \left( { - \frac{{{t^3}}}{3} + 3{t^2} + t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_2}\end{array}} \right. = \frac{{58}}{3} \approx 19,3\) (km).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oyz) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm A(-1;1;2), B(2;1;3). Hỏi đường ống nước nói trên nghiêng bao nhiêu độ so với mặt phẳng nằm ngang (kết quả làm tròn đến độ)?
Đáp án:
Đáp án:
Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oyz).
Mặt phẳng (Oyz) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow i = (1;0;0)\).
Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = (2 + 1;1 - 1;3 - 2) = (3;0;1)\) làm vecto chỉ phương.
Gọi góc giữa đường ống nước và mặt phẳng nằm ngang là \(\alpha \).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {3.1 + 0.0 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \alpha \approx {72^o}\).
Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang ABCD vuông tại A và B với độ dài AB = 9 m, AD = 5 m và BC = 6 m như hình vẽ. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và A, B, C, D có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí C bằng cách giữ nguyên độ cao ở A, giảm độ cao của sân ở vị trí B và D xuống thấp hơn độ cao ở A lần lượt là 6 cm và 3,6 cm. Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở C xuống bao nhiêu cm so với độ cao ở A (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm tọa độ của các điểm A, B, D và lập phương trình mặt phẳng (ABD).
Tìm cao độ điểm C sao cho C thuộc mặt phẳng (ABD).
Gọi độ cao của các điểm A, B, C, D lần lượt là \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\), \({z_D}\).
Theo đề bài, ta có: \({z_A} = {z_B} = {z_D} = 0.\)
Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm B, D được thay đổi như sau:
\({z_B} = - 0,06\), \({z_D} = - 0,036\).
Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng (ABCD) đi qua ba điểm \(A(0;0;0)\), \(B(9;0; - 0,06)\), \(D(0;5; - 0,036)\).
Phương trình mặt phẳng có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0.\)
Vì mặt phẳng đi qua \(A(0;0;0)\), thay \(A(0;0;0)\) vào phương trình ta được D = 0.
Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng: \(Ax + By + Cz = 0.\)
Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \): \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = (9;0; - 0,06)\), \(\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \left( {0;5; - 0,036} \right)\).
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\left( {0.( - 0,036) - ( - 0,06).5;( - 0,06).0 - 9.( - 0,036);9.5 - 0.0} \right) = (0,3;0,324;45)\).
Ta có phương trình mặt phẳng: \(0,3x + 0,324y + 45z = 0\).
Thay tọa độ \(C(9;6;{z_C})\) vào phương trình:
\(0,3.(9) + 0,324.(6) + 45{z_C} = 0 \Leftrightarrow 2,7 + 1,944 + 45{z_C} = 0 \Leftrightarrow {z_C} = {\rm{\;}} - 0,1032\) (m).
Vậy độ cao của điểm C cần giảm là: \({z_C} = - 0,1032{\rm{m}} \approx - 10,3{\rm{cm}}\).
Bác An cần hạ độ cao của điểm C xuống khoảng 10,3 cm so với độ cao của điểm A.
Cho \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1\\2x - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ge 1\\x < 1\end{array}\). Tính \(J = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \).
Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} \).
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {(2x - 1)dx} + \int\limits_1^2 {1dx} \)
\(\left( {{x^2} - x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. + x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \left( {{1^2} - 1} \right) - \left( {{{( - 1)}^2} - ( - 1)} \right) + 2 - 1 = 0 - 2 + 2 - 1 = - 1\).
Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một đoạn đường hầm bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích \(({m^3})\) khối bê tông để đổ đủ đoạn đường hầm, biết đường cong trong hình vẽ là các đường parabol.
Ứng dụng tích phân, tính diện tích mặt cắt khối bê tông.
Áp dụng công thức tính thể tích: V = Sh.
Gọi parabol giới hạn mặt cắt của khối bê tông lần lượt là (P) và (Q). Giả sử (P) là parabol nằm phía trên.
(P) đi qua điểm có tọa độ (10;0) và tọa độ đỉnh là (0;2,5) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.10^2} + b.10 + c\\\frac{5}{2} = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{5}{2}\\b = 0\\100a + 10b = - 2,5\end{array} \right. \Rightarrow (P):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2} = 0\).
(Q) đi qua điểm có tọa độ (9,5;0) và tọa độ đỉnh là (0;2) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + b.\frac{{19}}{2} + c\\2 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b = 0\\\frac{{361}}{4}a + \frac{{19}}{2}b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow (Q):y = - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2 = 0\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành là:
\({S_P} = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)dx} = \frac{{100}}{3}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Q) và trục hoành là:
\({S_Q} = \int\limits_{ - 9,5}^{9,5} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)dx} = \frac{{76}}{3}\).
Diện tích mặt cắt khối bê tông là:
\(S = {S_P} - {S_Q} = \frac{{100}}{3} - \frac{{76}}{3} = 8\) \(({m^2})\).
Thể tích khối bê tông là:
\(V = Sh = 8.5 = 40\) \(({m^3})\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(−1;2;0), C(3;−1;2) và M là điểm thuộc mặt phẳng \((\alpha )\): 2x − y + 2z + 7 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\).
Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Biến đổi biểu thức P theo điểm I.
Gọi điểm I(a;b;c) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}3(1 - a) + 5( - 1 - a) - 7(3 - a) = 0\\3(1 - b) + 5(2 - b) - 7( - 1 - b) = 0\\3(1 - c) + 5(0 - c) - 7(2 - c) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 23\\b = 20\\c = - 11\end{array} \right. \Rightarrow I( - 23;20; - 11)\).
Ta có \(P = \left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\)
\( = \left| {3\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {3IA} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {BI} - 7\overrightarrow {MI} - 7\overrightarrow {IC} } \right|\)
\( = \left| {\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\).
P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Mà M thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) nên MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng \((\alpha )\), hay MI là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \((\alpha )\).
Ta có \(d\left( {I;(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.( - 23) - 1.20 + 2.( - 11) + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 27\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 27.
Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 1 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá năng lực học tập của học sinh sau một nửa học kì. Đề thi này không chỉ kiểm tra kiến thức đã học mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Cấu trúc đề thi thường bao gồm hai phần chính: phần trắc nghiệm và phần tự luận. Phần trắc nghiệm thường chiếm khoảng 40-50% tổng số điểm, tập trung vào các kiến thức cơ bản và các công thức quan trọng. Phần tự luận chiếm khoảng 50-60% tổng số điểm, yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết và chứng minh các kết quả.
Để giải các bài tập về hàm số, học sinh cần nắm vững các kiến thức về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị, và đồ thị của hàm số. Sử dụng các phương pháp như xét dấu đạo hàm, tìm giao điểm của đồ thị, và giải phương trình để tìm ra đáp án.
Khi giải các bài tập về đạo hàm, học sinh cần thành thạo các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số cơ bản, và các ứng dụng của đạo hàm. Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, tìm cực trị, và giải các bài toán tối ưu.
Để giải các bài tập về tích phân, học sinh cần nắm vững các phương pháp tính tích phân, các tính chất của tích phân, và ứng dụng của tích phân. Sử dụng các phương pháp như đổi biến, tích phân từng phần, và sử dụng công thức tích phân để tính ra kết quả.
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi giữa kì 2, học sinh cần luyện tập thường xuyên và ôn tập đầy đủ các kiến thức đã học. Sử dụng các đề thi thử, các bài tập trắc nghiệm, và các tài liệu tham khảo để rèn luyện kỹ năng giải toán. Đồng thời, học sinh cũng nên tìm hiểu các phương pháp học tập hiệu quả, như lập kế hoạch học tập, ghi chép bài giảng, và trao đổi kiến thức với bạn bè.
Việc nắm vững kiến thức nền tảng là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán Toán 12. Học sinh cần hiểu rõ các định nghĩa, định lý, và công thức cơ bản. Đồng thời, cần rèn luyện kỹ năng tư duy logic, phân tích vấn đề, và áp dụng kiến thức vào thực tế.
Hiện nay, có rất nhiều tài nguyên học tập trực tuyến hữu ích dành cho học sinh Toán 12, như các website học toán online, các ứng dụng học tập, và các kênh YouTube chia sẻ kiến thức. Học sinh có thể tận dụng các tài nguyên này để bổ sung kiến thức, luyện tập kỹ năng, và tìm hiểu các phương pháp giải toán mới.
Trước khi bước vào kỳ thi, học sinh nên giữ tâm lý thoải mái, tự tin, và có chế độ ăn uống, nghỉ ngơi hợp lý. Trong quá trình làm bài, cần đọc kỹ đề bài, phân tích các dữ kiện, và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Đồng thời, cần kiểm tra lại kết quả trước khi nộp bài.
Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 1 là cơ hội để học sinh đánh giá năng lực học tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Bằng việc nắm vững kiến thức nền tảng, luyện tập thường xuyên, và sử dụng các tài nguyên học tập hiệu quả, học sinh có thể đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi này.