Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Chuyên đề Toán 12 Cánh Diều

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Trong thực tế, nhiều hiện tượng có kết quả không xác định trước, mà phụ thuộc vào một số yếu tố ngẫu nhiên. Để mô tả các hiện tượng này một cách toán học, ta sử dụng khái niệm biến ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên là một hàm số ánh xạ từ không gian mẫu sang tập số thực.

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn các giá trị đếm được. Ví dụ:

• Số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc.
• Số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung một đồng xu 10 lần.

2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Để mô tả và so sánh các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta sử dụng các số đặc trưng sau:

a. Kỳ vọng (Giá trị trung bình)

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của tất cả các giá trị mà X có thể nhận được, mỗi giá trị được nhân với xác suất của nó.

Công thức tính kỳ vọng:

E(X) = Σ (x_i * P(X = x_i))

Trong đó:

• x_i là các giá trị mà X có thể nhận.
• P(X = x_i) là xác suất để X nhận giá trị x_i.

b. Phương sai

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là Var(X), là độ đo mức độ phân tán của các giá trị của X xung quanh kỳ vọng của nó.

Công thức tính phương sai:

Var(X) = E[(X - E(X))²] = Σ ((x_i - E(X))² * P(X = x_i))

c. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai.

σ(X) = √Var(X)

3. Ví dụ minh họa

Xét biến ngẫu nhiên X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc. Các giá trị mà X có thể nhận là 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi giá trị có xác suất 1/6.

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X:

E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5

Var(X) = ((1 - 3.5)² * 1/6) + ((2 - 3.5)² * 1/6) + ((3 - 3.5)² * 1/6) + ((4 - 3.5)² * 1/6) + ((5 - 3.5)² * 1/6) + ((6 - 3.5)² * 1/6) = 2.9167

σ(X) = √2.9167 ≈ 1.7078

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.
2. Một người chơi xổ số mua 10 vé. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Gọi Y là số vé trúng thưởng. Tính kỳ vọng và phương sai của Y.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc. Chúc bạn học tập tốt!