Bài 1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, việc mô tả và tóm tắt dữ liệu là vô cùng quan trọng. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm đóng vai trò then chốt trong việc này, giúp chúng ta hiểu được giá trị điển hình của một tập dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích các số đặc trưng này trong bối cảnh mẫu số liệu ghép nhóm, theo chương trình SBT Toán 11 - Cánh diều, Tập 2, Chương V.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là tập hợp các quan sát được chia thành các khoảng (nhóm) khác nhau. Thay vì liệt kê từng giá trị riêng lẻ, chúng ta chỉ quan tâm đến tần số xuất hiện của các giá trị trong mỗi khoảng. Ví dụ, một bảng thống kê về chiều cao của học sinh có thể chia chiều cao thành các khoảng như 150-155cm, 155-160cm, v.v., và ghi lại số lượng học sinh trong mỗi khoảng.

2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Có ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm chính:

Trung bình cộng (Mean): Là tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta tính trung bình cộng bằng cách nhân giá trị đại diện của mỗi khoảng với tần số của nó, cộng tất cả các kết quả lại, rồi chia cho tổng số tần số.
Trung vị (Median): Là giá trị nằm ở giữa tập dữ liệu khi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, trung vị là giá trị mà tần số tích lũy đạt đến một nửa tổng số tần số.
Mốt (Mode): Là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, mốt là khoảng có tần số lớn nhất.

3. Công thức tính toán

a. Trung bình cộng (x̄):

x̄ = (∑(x_i * f_i)) / N

Trong đó:

x_i là giá trị đại diện của khoảng thứ i
f_i là tần số của khoảng thứ i
N là tổng số tần số (∑f_i)

b. Trung vị (M):

Để tìm trung vị, ta cần tính tần số tích lũy (F_i) của mỗi khoảng. Sau đó, ta tìm khoảng chứa trung vị, tức là khoảng mà F_i đạt đến hoặc vượt quá N/2.

c. Mốt (Mo):

Mốt là khoảng có tần số (f_i) lớn nhất.

4. Ví dụ minh họa

Giả sử ta có bảng số liệu về điểm thi Toán của 50 học sinh:

Khoảng điểm	Tần số (f_i)
5-6	5
6-7	10
7-8	15
8-9	12
9-10	8

Tính trung bình cộng:

x̄ = ((5.5 * 5) + (6.5 * 10) + (7.5 * 15) + (8.5 * 12) + (9.5 * 8)) / 50 = 7.6

Tính trung vị:

N/2 = 50/2 = 25

Tần số tích lũy:

5-6: 5
6-7: 15
7-8: 30

Khoảng chứa trung vị là 7-8. Do đó, trung vị nằm trong khoảng 7-8.

Tính mốt:

Khoảng có tần số lớn nhất là 7-8 (tần số 15). Do đó, mốt là 7-8.

5. Ứng dụng của các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Các số đặc trưng này có nhiều ứng dụng trong thực tế:

Phân tích dữ liệu kinh doanh: Xác định mức giá trung bình của sản phẩm, thu nhập trung bình của khách hàng.
Nghiên cứu khoa học: Xác định giá trị trung bình của các kết quả thí nghiệm.
Quản lý giáo dục: Đánh giá kết quả học tập của học sinh.

6. Lưu ý khi sử dụng

Khi sử dụng các số đặc trưng này, cần lưu ý:

Trung bình cộng dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.
Trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.
Mốt có thể không tồn tại hoặc không duy nhất.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc bạn học tập tốt!