Giải bài 4 trang 9, 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Giải bài 4 trang 9, 10 sách bài tập Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 4 trong sách bài tập Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song, đồng phẳng của vectơ và các điểm. Việc nắm vững các định lý, tính chất về vectơ là yếu tố then chốt để giải quyết thành công bài tập này.

Nội dung chi tiết bài 4

Bài 4 bao gồm các dạng bài tập sau:

• Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta cần chứng minh vectơ AB và vectơ AC cùng phương, tức là tồn tại một số k sao cho vectơ AC = k * vectơ AB.
• Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng. Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, ta cần chứng minh vectơ AB, vectơ AC và vectơ AD đồng phẳng, tức là tồn tại các số a, b sao cho vectơ AD = a * vectơ AB + b * vectơ AC.
• Dạng 3: Xác định mối quan hệ giữa các vectơ. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các tính chất của vectơ để xác định mối quan hệ giữa các vectơ cho trước, ví dụ như vectơ này bằng tổng của các vectơ khác, hoặc vectơ này cùng phương với vectơ khác.

Lời giải chi tiết bài 4 trang 9

Bài 4.1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Chứng minh rằng vectơ AB + vectơ AC + vectơ AD = 0 khi và chỉ khi A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

Lời giải:

Nếu A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện, thì vectơ AB + vectơ AC + vectơ AD = 0 (theo quy tắc cộng vectơ).

Ngược lại, nếu vectơ AB + vectơ AC + vectơ AD = 0, thì A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Điều này có thể chứng minh bằng cách xét tích hỗn hợp của ba vectơ AB, AC, AD. Nếu tích hỗn hợp khác 0, thì A, B, C, D không đồng phẳng và do đó là bốn đỉnh của một tứ diện.

Lời giải chi tiết bài 4 trang 10

Bài 4.2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ AM = 1/2 * vectơ AA' + 1/2 * vectơ AD + 1/2 * vectơ AB'.

Lời giải:

Ta có: vectơ AM = 1/2 * vectơ AB. Mặt khác, vectơ AB' = vectơ AA' + vectơ AD. Do đó, vectơ AM = 1/2 * (vectơ AA' + vectơ AD + vectơ AB').

Mẹo giải bài tập vectơ trong không gian

• Vẽ hình: Vẽ hình giúp ta hình dung rõ hơn về các vectơ và mối quan hệ giữa chúng.
• Sử dụng quy tắc cộng vectơ: Quy tắc cộng vectơ là công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ.
• Vận dụng các định lý, tính chất: Nắm vững các định lý, tính chất về vectơ là yếu tố then chốt để giải quyết thành công bài tập.
• Biến đổi vectơ: Sử dụng các phép biến đổi vectơ để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về bài 4, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì vectơ OG = 1/3 * (vectơ OA + vectơ OB + vectơ OC) với O là một điểm bất kỳ trong không gian.
2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng vectơ AM = 1/2 * vectơ AB + 1/2 * vectơ AC.

Kết luận

Bài 4 trang 9, 10 sách bài tập Toán 11 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.