THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 61 trang 118 Sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài giải này được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải bài tập này ngay nhé!
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(BC\), \(CD\).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(BC\), \(CD\).
a) Chứng minh rằng \(SC\parallel \left( {MNP} \right)\).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
c) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
d) Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh \(SC\parallel \left( {MNP} \right)\), ta cần chứng minh rằng \(SC\) song song với một đường thẳng nằm trong \(\left( {MNP} \right)\).
b) Gọi \(Q\) là trung điểm của \(SD\). Chứng minh rằng \(Q \in \left( {MNP} \right)\), từ đó suy ra \(PQ\) là giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), từ đó ta cũng chứng minh được \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và \(\left( {MNP} \right)\).
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\). Trên cạnh \(SA\) lấy \(E\) sao cho \(IE\parallel SC\). Chứng minh rằng \(E \in \left( {MNP} \right)\) và suy ra \(E\) là giao điểm cần tìm.
d) Sử dụng định lí Thales để tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(M\) là trung điểm của \(SB\), \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\). Suy ra \(MN\parallel SC\).
Vì \(MN \subset \left( {MNP} \right)\) nên \(SC\parallel \left( {MNP} \right)\). Ta có điều phải chứng minh.
b) Gọi \(Q\) là trung điểm của \(SD\). Ta sẽ chứng minh \(PQ\) chính là giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), và \(Q\) cũng chính là giao điểm của \(SD\) và \(\left( {MNP} \right)\).
Thật vậy, xét hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), ta có \(P \in CD \subset \left( {SCD} \right)\) và \(P \in \left( {MNP} \right)\), nên giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là một đường thẳng đi qua \(P\).
Hơn nữa, do \(MN\parallel SC\), \(SC \subset \left( {SCD} \right)\), \(MN \subset \left( {MNP} \right)\), ta suy ra giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là một đường thẳng đi qua \(P\) và song song với \(SC\).
Vì \(P\) là trung điểm của \(CD\), \(Q\) là trung điểm của \(SD\) nên \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(SDC\). Suy ra \(PQ\parallel SC\) và \(PQ\parallel MN\). Do \(PQ\parallel MN\) nên \(Q \in \left( {MNP} \right)\).
Như vậy, \(PQ\) chính là giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Do \(Q \in \left( {MNP} \right)\) và \(Q \in SD\), ta suy ra \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và \(\left( {MNP} \right)\).
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\). Trên cạnh \(SA\) lấy \(E\) sao cho \(IE\parallel SC\).
Dễ thấy rằng do \(I \in NP\), \(NP \subset \left( {MNP} \right)\) nên \(I \in \left( {MNP} \right)\).
Do \(IE\parallel SC\), \(MN\parallel SC\) , ta suy ra \(IE\parallel MN\). Vì \(I \in \left( {MNP} \right)\), ta suy ra \(E \in \left( {MNP} \right)\).
Như vậy \(E\) là điểm chung của \(SA\) và \(\left( {MNP} \right)\), ta kết luận \(E\) chính là giao điểm của \(SA\) và \(\left( {MNP} \right)\).
d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Ta có \(P\) là trung điểm của \(CD\), \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Suy ra \(NP\parallel BD\), hay \(NI\parallel BO\). Do \(N\) là trung điểm của \(BC\), ta kết luận rằng \(I\) là trung điểm của \(OC\), hay \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{1}{2}\).
Mặt khác, do \(ABCD\) là hình bình hành, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\), hay \(\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{CI}}{{CO}}.\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Tam giác \(SAC\) có \(IE\parallel SC\), theo định lí Thales ta có \(\frac{{CI}}{{IA}} = \frac{{SE}}{{EA}} \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SE}}{{SA}}\).
Như vậy \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{1}{4}\).
Bài 61 trang 118 Sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và các điều kiện song song, vuông góc giữa chúng.
Bài 61 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 61 trang 118 Sách bài tập Toán 11 Cánh Diều hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Ví dụ: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).
Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 61 trang 118 Sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
