Giải bài 19 trang 104 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều

Đề bài

Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa đường thẳng \(a\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến \(b\). Vị trí tương đối giữa \(a\) và \(b\) là:

A. Cắt nhau

B. Trùng nhau

C. Song song

D. Chéo nhau

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 19 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều 1

Sử dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng: Với đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến \(b\) thì \(a\) song song với \(b\).

Đáp án đúng là C.

Giải bài 19 trang 104 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan

Bài 19 trang 104 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các tính chất liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Nội dung bài tập

Bài 19 bao gồm các dạng bài tập sau:

Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng (song song, nằm trong mặt phẳng, cắt mặt phẳng).
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Chứng minh các mối quan hệ hình học liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp giải

Để giải các bài tập trong bài 19, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Các điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng.
Các điều kiện để đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Các tính chất liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết bài 19

Câu 1: (SBT Toán 11 Cánh Diều)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Suy ra AC ⊥ (SAC). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và AO.

Ta có: AO = AC/2 = (a√2)/2 = a/√2. Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: tan(∠SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Suy ra ∠SCA = arctan(1/√2). Trong tam giác SCO, ta có: SC = √(SA² + AC²) = √(a² + 2a²) = a√3. Áp dụng định lý cosin trong tam giác SCO, ta có: CO² = SC² + SO² - 2.SC.SO.cos(∠CSO). Từ đó tính được góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

Câu 2: (SBT Toán 11 Cánh Diều)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a√3. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Tương tự như câu 1, gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Suy ra AC ⊥ (SAC). Do đó, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SB và BO.

Ta có: BO = BD/2 = √(AB² + AD²)/2 = √(a² + (a√3)²) / 2 = √(4a²)/2 = a√2. Trong tam giác SAB vuông tại A, ta có: SB = √(SA² + AB²) = √(a² + a²) = a√2. Trong tam giác SBO, ta có: SO = √(SA² + AO²) = √(a² + (a√2)²) = √(3a²) = a√3. Áp dụng định lý cosin trong tam giác SBO, ta có: BO² = SB² + SO² - 2.SB.SO.cos(∠BSO). Từ đó tính được góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD).

Lưu ý khi giải bài tập

Vẽ hình chính xác và đầy đủ.
Nắm vững các định nghĩa và tính chất liên quan.
Sử dụng các công thức một cách chính xác.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tổng kết

Bài 19 trang 104 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các tính chất liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.