Giải bài 13 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 13 trang 46 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 13 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để đảm bảo bạn nắm vững kiến thức.
Chứng minh rằng:
Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) bị chặn dưới.
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - {n^2} - n\) bị chặn trên.
c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh rằng \(\sqrt {{n^2} + 1} \ge \sqrt 2 \) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
b) Chứng minh rằng \( - {n^2} - n \le - 2\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
c) Chứng minh rằng \(0 < \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} < 2\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Từ đó kết luận rằng tồn tại các số thực dương \(m,{\rm{ }}M\) với \(M < 2\) để \(m \le \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} \le M\).
Lời giải chi tiết
a) Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có \({n^2} \ge 1 \Rightarrow {n^2} + 1 \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{n^2} + 1} \ge \sqrt 2 \).
Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) bị chặn dưới.
b) Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có \(n\left( {n + 1} \right) \ge 1.2 = 2 \Rightarrow {n^2} + n \ge 2 \Rightarrow - {n^2} - n \le - 2\)
Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - {n^2} - n\) bị chặn trên.
c) Ta nhận thấy với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \(\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} > 0\). Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) bị chặn dưới.
Mặt khác, xét \({u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2\left( {n + 2} \right)}}{{n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{n + 2}} < 0 \Rightarrow {u_n} < 2\).
Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) bị chặn trên.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, cho nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Bài toán được chứng minh.
Giải bài 13 trang 46 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 13 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng trong hình học không gian.
Nội dung chi tiết bài 13
Bài 13 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tính góc giữa hai vectơ. Để tính góc giữa hai vectơ a và b, ta sử dụng công thức: cos(θ) = (a.b) / (||a||.||b||), trong đó θ là góc giữa hai vectơ.
- Dạng 2: Xác định mối quan hệ giữa các vectơ. Dựa vào tích vô hướng, ta có thể xác định hai vectơ vuông góc, song song hoặc cắt nhau.
- Dạng 3: Ứng dụng tích vô hướng vào hình học không gian. Ví dụ, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính diện tích hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.
Lời giải chi tiết từng bài tập
Bài 13.1
Cho hai vectơ a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 3). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Giải:
- Tính tích vô hướng của a và b: a.b = 1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 2 - 2 - 3 = -3.
- Tính độ dài của vectơ a: ||a|| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6.
- Tính độ dài của vectơ b: ||b|| = √(2² + (-1)² + 3²) = √14.
- Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: cos(θ) = -3 / (√6 * √14) = -3 / √84 = -3 / (2√21).
- Suy ra θ = arccos(-3 / (2√21)) ≈ 106.6°.
Bài 13.2
Cho hai vectơ u = (3; -1; 2) và v = (1; 4; -5). Chứng minh rằng u vuông góc với v.
Giải:
Để chứng minh hai vectơ u và v vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0.
u.v = 3*1 + (-1)*4 + 2*(-5) = 3 - 4 - 10 = -11 ≠ 0.
Vậy, hai vectơ u và v không vuông góc.
Các lưu ý khi giải bài tập về tích vô hướng
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của tích vô hướng.
- Sử dụng đúng công thức tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.
- Chú ý đến dấu của tích vô hướng để xác định mối quan hệ giữa các vectơ.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Tài liệu tham khảo
Ngoài sách bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 11.
- Các trang web học toán online uy tín.
- Các video bài giảng về tích vô hướng.
Kết luận
Bài 13 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích vô hướng và ứng dụng của nó trong hình học không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
