THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).
a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\).
c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1,{\rm{ }}2,{\rm{ 3, 4}}\) vào công thức \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\)để xác định 4 số hạng đầu của dãy số.
b) Thay \(n\) bởi \(n + 4\) vào công thức \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\)để xác định \({u_{n + 4}}\) và chú ý rằng \(\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\).
c) Sử dụng kết quả câu b, ta có \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\),\({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\). Do đó tổng 12 số hạng đầu tiên bằng \(3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) Ta có:
\({u_{n + 4}} = \sin \left\{ {\left[ {2\left( {n + 4} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{4}} \right\} = \sin \left[ {\left( {2n - 1 + 8} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}\)
Vậy \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Như vậy \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\),\({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\).
Do đó:
\({u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{12}} = 3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\)
Bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và tính chất của tích vô hướng.
Bài 10 bao gồm các câu hỏi và bài tập khác nhau, yêu cầu học sinh:
Để giải quyết hiệu quả các bài tập về tích vô hướng, học sinh cần nắm vững các công thức và tính chất sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi và bài tập trong bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều:
Ví dụ: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính tích vô hướng của a và b.
Lời giải:a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
...
...
Khi giải các bài tập về tích vô hướng, học sinh cần chú ý:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tích vô hướng, học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
Bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó trong giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập tương tự.
