Giải bài 27 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp tối ưu, giúp bạn hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho \(\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Tính \(\sin a\), \(\cos a\), \(\tan a\).
Đề bài
Cho \(\tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Tính \(\sin a\), \(\cos a\), \(\tan a\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức \(\sin 2x = 2\sin x.\cos x = \frac{{2\sin x\cos x}}{1}\) và \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\sin a\).
Sử dụng công thức \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{1}\) và \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\cos a\).
Sử dụng công thức \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) để tính \(\tan a\).
Lời giải chi tiết
Do \(\tan \frac{a}{2}\) xác định, nên \(\cos \frac{a}{2} \ne 0\).
Ta có:
\(\sin a = \sin \left( {2.\frac{a}{2}} \right) = 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} = \frac{{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}{1} = \frac{{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{a}{2} + {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức trên cho \({\cos ^2}\frac{a}{2} \ne 0\), ta được:
\(\sin a = \frac{{2\frac{{\sin \frac{a}{2}}}{{\cos \frac{a}{2}}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} + 1}} = \frac{{2\tan \frac{a}{2}}}{{{{\tan }^2}\frac{a}{2} + 1}} = \frac{{2.\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Tưởng tự, ta có:
\(\cos a = {\cos ^2}\frac{a}{2} - {\sin ^2}\frac{a}{2} = \frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{1} = \frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\sin }^2}\frac{a}{2} + {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}\)
\( = \frac{{1 - \frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{a}{2}}} + 1}} = \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{a}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{a}{2}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{3}\)
Từ đó, \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} :\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \)
Giải bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Hướng dẫn chi tiết
Bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng, và các điểm đặc biệt của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến ứng dụng thực tế.
Nội dung bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Bài 27 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Xác định các yếu tố của parabol: Học sinh cần xác định đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn của parabol dựa vào phương trình.
- Viết phương trình parabol: Yêu cầu viết phương trình parabol khi biết các yếu tố như đỉnh, tiêu điểm, hoặc đường chuẩn.
- Ứng dụng parabol vào giải quyết bài toán thực tế: Các bài toán thường liên quan đến việc tìm quỹ đạo của vật thể chuyển động, thiết kế các công trình kiến trúc, hoặc giải các bài toán tối ưu hóa.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Để giải bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
- Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px (p > 0) hoặc x2 = 2py (p > 0)
- Định nghĩa parabol: Parabol là tập hợp tất cả các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn).
- Các tính chất của parabol: Đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn, và khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên parabol đến tiêu điểm bằng khoảng cách từ điểm đó đến đường chuẩn.
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol có phương trình y2 = 8x. Ta có:
- 2p = 8 => p = 4
- Tiêu điểm: F(p; 0) = F(4; 0)
- Đường chuẩn: x = -p = -4
Lưu ý khi giải bài tập:
- Đọc kỹ đề bài và xác định đúng yêu cầu của bài toán.
- Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung và tìm ra lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong để đảm bảo tính chính xác.
Mở rộng kiến thức về hàm số bậc hai và parabol
Hàm số bậc hai và parabol có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác. Việc hiểu rõ về hàm số bậc hai và parabol sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn và ứng dụng kiến thức vào thực tế một cách hiệu quả.
Bạn có thể tìm hiểu thêm về các chủ đề liên quan như:
- Đồ thị hàm số bậc hai: Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai và phân tích các yếu tố của đồ thị.
- Bất phương trình bậc hai: Cách giải bất phương trình bậc hai và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
- Ứng dụng của hàm số bậc hai trong vật lý: Ví dụ như quỹ đạo của vật ném, đường đi của ánh sáng, hoặc hình dạng của các vật thể.
Montoan.com.vn hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải bài 27 trang 15 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều và đạt kết quả tốt trong môn Toán. Chúc bạn học tập hiệu quả!
