Giải bài 48 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 48 trang 110 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 48 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 2a\), \(AD = 3a\)
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 2a\), \(AD = 3a\), tam giác \(\left( {SAB} \right)\) vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\).
c) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(SA\).
d) Từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)và chỉ ra rằng \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BC\).
b) Chỉ ra rằng do \(CD\parallel \left( {SAB} \right)\), và \(SB \subset \left( {SBC} \right)\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(CD\) và \(\left( {SBC} \right)\), và cũng bằng đoạn thẳng \(BC\).
c) Chi ra rằng \(SB\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SA\) và \(BC\), từ đó chứng minh được khoảng cách này bằng đoạn thẳng \(SB\).
d) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(SH\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên ta có \(SA \bot SB\) và \(SH \bot AB\). Hơn nữa, do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó, ta suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Từ đó \(SH \bot BC\).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta suy ra \(AB \bot BC\). Như vậy, do \(SH \bot BC\), \(AB \bot BC\) ta suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot BC\). Như vậy \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BC\). Mà \(BC = 3a\), nên khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là \(3a\).
b) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta suy ra \(CD\parallel AB\), mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(CD\parallel \left( {SAB} \right)\). Hơn nữa, do \(SB \subset \left( {SBC} \right)\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(CD\) và \(\left( {SBC} \right)\), và nó cũng bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SBC} \right)\). Theo câu a, khoảng cách này chính là đoạn thẳng \(BC\), tức là khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng \(3a\).
c) Theo câu a, ta có \(SA \bot SB\). Hơn nữa, ta cũng có \(\left( {SAB} \right) \bot BC\) nên \(SB \bot BC\). Như vậy, \(SB\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SA\) và \(BC\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là đoạn thẳng \(SB\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên ta có \(A{B^2} = 2S{B^2} \Rightarrow SB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(AB = 2a\) nên \(SB = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).
Vậy khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là \(a\sqrt 2 \).
d) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này có nghĩa khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) là đoạn thẳng \(SH\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) có đường trung tuyến \(SH\) nên ta có \(SH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Vậy khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) là \(a\).
Giải bài 48 trang 110 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Hướng dẫn chi tiết
Bài 48 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Nội dung bài tập 48 trang 110 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Bài tập 48 thường bao gồm các dạng bài sau:
- Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, đường thẳng cắt mặt phẳng.
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
- Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Sử dụng phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.
- Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Phương pháp giải bài tập 48 trang 110 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Để giải quyết bài tập 48 trang 110 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
- Vectơ: Hiểu rõ các phép toán vectơ, tích vô hướng, tích có hướng.
- Phương trình đường thẳng: Biết cách viết phương trình đường thẳng dưới các dạng khác nhau (dạng tham số, dạng chính tắc).
- Phương trình mặt phẳng: Biết cách viết phương trình mặt phẳng.
- Quan hệ vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng: Nắm vững các điều kiện để đường thẳng song song, vuông góc, cắt mặt phẳng.
Dưới đây là một số bước giải bài tập thường gặp:
- Phân tích đề bài: Xác định rõ yêu cầu của bài toán, các dữ kiện đã cho.
- Chọn hệ tọa độ thích hợp: Chọn hệ tọa độ sao cho việc tính toán trở nên đơn giản nhất.
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Sử dụng các điểm thuộc đường thẳng để tìm vectơ chỉ phương.
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Sử dụng các điểm thuộc mặt phẳng hoặc các vectơ nằm trên mặt phẳng để tìm vectơ pháp tuyến.
- Áp dụng các công thức: Sử dụng các công thức liên quan đến quan hệ vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả của bạn là hợp lý và chính xác.
Ví dụ minh họa giải bài 48 trang 110 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Bài toán: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).
Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0.
Vì a.n ≠ 0 nên đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau.
Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các đề thi thử. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập khác trong chương trình Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
