Giải bài 43 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 43 trang 83 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 43 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\)
Đề bài
Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\), tam giác \({T_3}\) đồng dạng với tam giác \({T_2}\), …, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}{\rm{ }}\left( {k > 1} \right)\). Khi \(n\) tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo \(k\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \(\frac{1}{{{k^2}}}\).
Do \(\frac{1}{{{k^2}}} < 1\), nên ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là diện tích tam giác \({T_n}\) là cấp số nhân. Khi \(n\) tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Lời giải chi tiết
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là diện tích tam giác \({T_n}\).
Nhận xét rằng hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \(\frac{1}{{{k^2}}}\). Có nghĩa là, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) theo tỉ số \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích tam giác \({T_n}\) với tam giác \({T_{n - 1}}\) là \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{k^2}}}\).
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({u_1} = 1\) và \(q = \frac{1}{{{k^2}}}\).
Khi \(n\) tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng này có giá trị là \(S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{k^2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{k^2} - 1}}{{{k^2}}}}} = \frac{{{k^2}}}{{{k^2} - 1}}\).
Giải bài 43 trang 83 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 43 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Nội dung bài 43 trang 83 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Bài 43 bao gồm các câu hỏi và bài tập yêu cầu học sinh:
- Tính đạo hàm của các hàm số cho trước.
- Áp dụng quy tắc đạo hàm để giải các bài toán thực tế.
- Phân tích và đánh giá kết quả tính đạo hàm.
Lời giải chi tiết bài 43 trang 83 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1, ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa:
f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (5x)' + (1)'
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 + 0
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)
Để tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x^2 + 1) / (x - 1), ta áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
g'(x) = [(x^2 + 1)'(x - 1) - (x^2 + 1)(x - 1)'] / (x - 1)^2
g'(x) = [2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)] / (x - 1)^2
g'(x) = (2x^2 - 2x - x^2 - 1) / (x - 1)^2
g'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2
Câu 3: Cho hàm số h(x) = x * sin(x). Tính h'(x).
Để tính đạo hàm của hàm số h(x) = x * sin(x), ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
h'(x) = (x)' * sin(x) + x * (sin(x))'
h'(x) = 1 * sin(x) + x * cos(x)
h'(x) = sin(x) + x * cos(x)
Mẹo giải bài tập đạo hàm hiệu quả
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản: đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Kiểm tra lại kết quả tính đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ tính đạo hàm trực tuyến để kiểm tra lại kết quả.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Tính vận tốc và gia tốc của vật chuyển động.
- Tìm cực trị của hàm số để tối ưu hóa các bài toán kinh tế, kỹ thuật.
- Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số.
- Giải các bài toán liên quan đến hình học.
Kết luận
Bài 43 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập liên quan đến đạo hàm.
