THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 35 trang 109 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 11 hiện hành.
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng
Đề bài
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo \(AC\), \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\). Qua \(M\) vẽ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD\) tại \(M'\), qua \(N\) vẽ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AF\) tại \(N'\).
a) Chứng minh rằng \(\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)\).
b) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( {AFD} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt đường thẳng \(EF\) tại \(I\). Tính \(\frac{{FI}}{{FE}}\), biết \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(MM'\parallel NN'\), từ đó suy ra 4 điểm \(M\), \(M'\), \(N\), \(N'\) đồng phẳng. Tương tự 4 điểm \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) cũng đồng phẳng.
Chứng minh rằng \(NN'\parallel CD\) (do cùng song song với \(AB\)) để suy ra \(NN'\parallel \left( {CDE} \right)\). Tiếp theo, chỉ ra rằng \(M'N'\parallel FD\) để suy ra \(M'N'\parallel \left( {CDE} \right)\), rồi suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng định lí Thales: Đường thẳng \(AC\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(A\), \(M\), \(C\). Đường thẳng \(FE\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(F\), \(I\), \(E\). Suy ra \(\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}}\), từ đó tính được tỉ số \(\frac{{FI}}{{FE}}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(MM'\parallel AB\), \(NN'\parallel AB \Rightarrow MM'\parallel NN'\). Suy ra 4 điểm \(M\), \(M'\), \(N\), \(N'\) đồng phẳng. Chứng minh tương tự ta cũng có 4 điểm \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) đồng phẳng.
Mặt khác, ta có \(MM'\parallel AB\), \(AB\parallel CD\) nên \(MM'\parallel CD\).
Do \(CD \subset \left( {CDFE} \right)\) nên ta kết luận rằng \(MM'\parallel \left( {CDFE} \right)\).
Hơn nữa, do \(MM'\parallel AB\), nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM'}}{{AD}}\).
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\).
Theo đề bài, vì \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\), ta suy ra \(\frac{{AM'}}{{AD}} = \frac{{AN'}}{{AF}}\), tức là \(M'N'\parallel FD\).
Do \(FD \subset \left( {CDFE} \right)\) nên ta kết luận rằng \(M'N'\parallel \left( {CDFE} \right)\).
Vì \(MM'\parallel \left( {CDFE} \right)\), \(M'N'\parallel \left( {CDFE} \right)\), \(MM' \cap M'N' = \left\{ {M'} \right\}\), nên ta có \(\left( {MNN'M'} \right)\parallel \left( {CDFE} \right)\), tức là \(\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)\). Bài toán được chứng minh.
b) Ta có \(AD\parallel BE\), \(BC \subset \left( {BCE} \right)\) nên \(AD\parallel \left( {BCE} \right)\). Tương tự ta cũng có \(DF\parallel \left( {BCE} \right)\). Vậy \(\left( {ADF} \right)\parallel \left( {BCE} \right)\)
Theo đề bài, vì \(\left( P \right)\parallel \left( {AFD} \right)\) và \(M \in \left( P \right)\), nên ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\) đôi một phân biệt, và chúng cũng đôi một song song.
Đường thẳng \(AC\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(A\), \(M\), \(C\). Đường thẳng \(FE\) cắt ba mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\), \(\left( P \right)\), \(\left( {BCE} \right)\) lần lượt tại \(F\), \(I\), \(E\). Áp dụng định lí Thales, ta suy ra \(\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{FI}}{{FE}}\).
Mà \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\), ta kết luận \(\frac{{FI}}{{FE}} = \frac{1}{3}\).
Bài 35 trang 109 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài 35 bao gồm các bài tập nhỏ, yêu cầu học sinh:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x4 - 2x2 + 5x - 1.
Lời giải:
f'(x) = d/dx (3x4) - d/dx (2x2) + d/dx (5x) - d/dx (1)
f'(x) = 12x3 - 4x + 5 - 0
f'(x) = 12x3 - 4x + 5
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x2 + 1)(x - 2).
Lời giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
u = x2 + 1 => u' = 2x
v = x - 2 => v' = 1
g'(x) = 2x(x - 2) + (x2 + 1)(1)
g'(x) = 2x2 - 4x + x2 + 1
g'(x) = 3x2 - 4x + 1
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số h(x) = (2x + 1) / (x - 3).
Lời giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v2
u = 2x + 1 => u' = 2
v = x - 3 => v' = 1
h'(x) = (2(x - 3) - (2x + 1)(1)) / (x - 3)2
h'(x) = (2x - 6 - 2x - 1) / (x - 3)2
h'(x) = -7 / (x - 3)2
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 35 trang 109 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập liên quan đến đạo hàm.
