THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\).
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\).
a) Chứng minh răng \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), \(BD' \bot C'D\) và \(\left( {BC'D} \right) \bot \left( {BCD'} \right)\).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'D'\).
c) Tính góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {CDD'C'} \right)\).
d) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\).
e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\).
g) Chứng minh \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\) và tính khoảng cách giữa đường thẳng \(B'C'\) và mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\).
h) Tính thể tích của khối tứ diện \(C'BCD\) và tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau trong mặt phẳng.
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ là 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Chỉ ra \(AD\parallel A'D'\), nên góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) cũng bằng góc giữa \(BD\) và \(AD\), và bằng \(\widehat {ADB}\).
c) Ta chứng minh \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) là góc \(\widehat {BDC}\).
d) Ta chứng minh \(\widehat {BDC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\).
e) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D'C\) và \(DC'\). Theo câu a, ta có \(DI \bot \left( {BCD'} \right)\), từ đó suy ra khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(DI\).
g) Để chứng minh \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\), ta chứng minh \(B'C'\) song song với một đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\). Do \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\) nên khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) bằng khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\).
Theo câu a, ta có \(IC' \bot \left( {BCD'} \right)\), từ đó suy ra \(C'I\) chính là khoảng cách cần tìm.
h) Công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\), với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp đó.
Do \(CC' \bot \left( {BCD} \right)\) nên thể tích tứ diện \(C'BCD\) là \(V = \frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}}\).
Do thể tích tứ diện \(C'BCD\) cũng có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3}{d_{C,\left( {BC'D} \right)}}.{S_{BC'D}}\), ta suy ra \({d_{C,\left( {BC'D} \right)}} = \frac{{3V}}{{{S_{BC'D}}}}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này suy ra \(BC \bot C'D\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông, nên ta có \(C'D \bot CD'\).
Vậy ta có \(BC \bot C'D\), \(C'D \bot CD'\) nên ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\). Ta có điều phải chứng minh.
Do \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), ta suy ra \(BD' \bot C'D\).
Do \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), mà \(C'D \subset \left( {BC'D} \right)\),ta suy ra \(\left( {BC'D} \right) \bot \left( {BCD'} \right)\).
b) Dễ thấy rằng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta có \(AD\parallel A'D'\), nên góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) cũng bằng góc giữa \(BD\) và \(AD\), và bằng \(\widehat {ADB}\).
Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(\widehat {ADB} = {45^o}\).
Vậy góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\). Điều này suy ra \(C\) là hình chiếu của \(B\) trên \(\left( {DCC'D'} \right)\). Như vậy, góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) là góc \(\widehat {BDC}\).
Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(\widehat {BDC} = {45^o}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) bằng \({45^o}\).
d) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(DD' \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(DD' \bot BD\) và \(DD' \bot CD\). Vậy \(\widehat {BDC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\). Theo câu c, ta có \(\widehat {BDC} = {45^o}\). Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\) bằng \({45^o}\).
e) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D'C\) và \(DC'\). Theo câu a, ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), nên \(DI \bot \left( {BCD'} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(DI\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), ta suy ra \(C'D = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \). Suy ra \(DI = C'I = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
g) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(B'C'\parallel BC\).
Mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên ta suy ra \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\).
Vì \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\), nên khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\).
Theo câu a, ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), điều này cũng có nghĩa \(C'I \bot \left( {BCD'} \right)\), tức khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(C'I\). Mà theo câu e, vì \(C'I = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
h) Do \(CC' \bot \left( {BCD} \right)\) nên thể tích tứ diện \(C'BCD\) là
\(V = \frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}CC'.\frac{{BC.CD}}{2} = \frac{{a.a.a}}{6} = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Tam giác \(BC'D\) có \(BC' = C'D = BD = a\sqrt 2 \) (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều.
Diện tích tam giác \(BC'D\) bằng \({S_{BC'D}} = \frac{{B{D^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Vì thể tích tứ diện \(C'BCD\) cũng có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3}{d_{C,\left( {BC'D} \right)}}.{S_{BC'D}}\), ta suy ra \({d_{C,\left( {BC'D} \right)}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, và xác định các điểm cực trị của hàm số.
Bài tập 59 thường có dạng như sau: Cho một hàm số y = f(x). Hãy tìm đạo hàm f'(x), xét dấu f'(x) và xác định các điểm cực trị của hàm số. Sau đó, dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị hàm số và phân tích các tính chất của hàm số.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm và xác định các điểm cực trị của hàm số.
Giải:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Ngoài sách bài tập, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm:
Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
