THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Chúng tôi hiểu rằng việc giải bài tập có thể gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài toán đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
Đề bài
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)
b) \(B = \sin \alpha - \cos \alpha \)
c) \(C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \)
d) \(D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và điều kiện \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\)để xét dấu của \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \).
c) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \).
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
d) Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}\alpha \), \(B = {\cos ^2}\alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\)
b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), ta suy ra \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha - \cos \alpha < 0\).
Như vậy \(B = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)
c) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(C = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).
d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
\( = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)
Bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này tập trung vào việc xác định các yếu tố của hàm số bậc hai (hệ số a, b, c), tìm đỉnh của parabol, trục đối xứng và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai trong các chương tiếp theo.
Bài 13 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để xác định hệ số a, b, c của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, bạn cần đưa hàm số về dạng tổng quát. Sau đó, đối chiếu các hệ số của x2, x và hằng số để xác định a, b, c.
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x2 - 5x + 1. Xác định a, b, c.
Giải: Ta có a = 2, b = -5, c = 1.
Tọa độ đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c được tính theo công thức:
Ví dụ: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x2 - 4x + 3.
Giải: Ta có a = 1, b = -4, c = 3. Δ = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 4. xđỉnh = -(-4) / (2 * 1) = 2. yđỉnh = -4 / (4 * 1) = -1. Vậy tọa độ đỉnh là (2, -1).
Trục đối xứng của parabol y = ax2 + bx + c là đường thẳng x = -b / (2a).
Ví dụ: Xác định trục đối xứng của parabol y = -2x2 + 8x - 5.
Giải: Ta có a = -2, b = 8. Vậy trục đối xứng là x = -8 / (2 * -2) = 2.
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai, bạn cần thực hiện các bước sau:
Hàm số bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tế như tính quỹ đạo của vật ném, tính diện tích hình chữ nhật có chu vi cho trước, và nhiều bài toán tối ưu hóa khác.
Bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập và đạt kết quả tốt nhất.
