Giải bài 30 trang 81 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Giải bài 30 trang 81 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 30 trang 81 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để đảm bảo bạn nắm vững kiến thức.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)
a) Với \(a = 2\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\).
b) Tìm \(a\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) trong trường hợp \(a = 2\).
b) Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 1\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Từ đó tìm được \(a\).
Lời giải chi tiết
a) Với \(a = 2\) ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + 2{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\).
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = {1^2} - 1 = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\), nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\). Do đó, hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
b) Với \(x < 1\) thì \(f\left( x \right) = x + a\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ,1} \right)\).
Với \(x > 1\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {1, + \infty } \right)\).
Do đó, để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(f\left( x \right)\) phải liên tục tại \(x = 1\).
Tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 0 \Rightarrow 1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1\).
Giải bài 30 trang 81 Sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều: Tổng quan
Bài 30 trang 81 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong hình học không gian.
Nội dung chi tiết bài 30
Bài 30 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tính góc giữa hai vectơ. Để tính góc giữa hai vectơ a và b, ta sử dụng công thức: cos(θ) = (a.b) / (||a||.||b||), trong đó θ là góc giữa hai vectơ, a.b là tích vô hướng của hai vectơ, ||a|| và ||b|| là độ dài của vectơ a và b.
- Dạng 2: Xác định mối quan hệ giữa các vectơ. Dựa vào tích vô hướng, ta có thể xác định mối quan hệ giữa hai vectơ:
- Nếu a.b = 0 thì hai vectơ vuông góc.
- Nếu a.b > 0 thì góc giữa hai vectơ nhọn.
- Nếu a.b < 0 thì góc giữa hai vectơ tù.
- Dạng 3: Ứng dụng tích vô hướng vào hình học không gian. Tích vô hướng được sử dụng để chứng minh các tính chất hình học, tính độ dài đoạn thẳng, và giải các bài toán liên quan đến khoảng cách.
Lời giải chi tiết các bài tập trong bài 30
Bài 30.1
Cho hai vectơ a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 3). Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Giải:
- Tính tích vô hướng của hai vectơ: a.b = 1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 2 - 2 - 3 = -3.
- Tính độ dài của mỗi vectơ: ||a|| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6, ||b|| = √(2² + (-1)² + 3²) = √14.
- Tính cosin của góc giữa hai vectơ: cos(θ) = -3 / (√6 * √14) = -3 / √84 = -3 / (2√21) = -√21 / 14.
- Suy ra θ = arccos(-√21 / 14) ≈ 106.6°.
Bài 30.2
Cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Tính góc BAC.
Giải:
- Tính vectơ AB = (-1; 1; 0) và AC = (-1; 0; 1).
- Tính tích vô hướng của hai vectơ: AB.AC = (-1)*(-1) + 1*0 + 0*1 = 1.
- Tính độ dài của mỗi vectơ: ||AB|| = √((-1)² + 1² + 0²) = √2, ||AC|| = √((-1)² + 0² + 1²) = √2.
- Tính cosin của góc BAC: cos(BAC) = 1 / (√2 * √2) = 1/2.
- Suy ra BAC = arccos(1/2) = 60°.
Lưu ý khi giải bài tập về tích vô hướng
- Nắm vững công thức tính tích vô hướng của hai vectơ.
- Hiểu rõ mối quan hệ giữa tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.
- Sử dụng các công thức hình học để giải quyết các bài toán ứng dụng.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Montoan.com.vn – Đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục toán học
Montoan.com.vn luôn cập nhật lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán 11. Chúng tôi hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài 30 trang 81 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
