Bài 3. Đạo hàm cấp 2

Bài 3. Đạo hàm cấp 2 - SBT Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Đạo hàm cấp hai là một khái niệm quan trọng trong giải tích, cho phép chúng ta nghiên cứu sự thay đổi của tốc độ thay đổi của một hàm số. Trong chương trình Toán 11, việc hiểu rõ về đạo hàm cấp hai là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tối ưu hóa, hình học và vật lý.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại một điểm x, và đạo hàm đó lại có đạo hàm tại x, thì đạo hàm của đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x. Ký hiệu đạo hàm cấp hai của f(x) là f''(x) hoặc d²y/dx².

2. Công thức tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện hai lần phép lấy đạo hàm. Đầu tiên, ta tính đạo hàm cấp một f'(x), sau đó ta tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ:

Nếu f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1, thì f'(x) = 3x² + 4x - 5 và f''(x) = 6x + 4.

3. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định tính lồi lõm của hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, hàm số f(x) lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, hàm số f(x) lõm trên khoảng đó.
Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà tại đó hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0 và kiểm tra dấu của f''(x) xung quanh nghiệm.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm cấp hai có thể được sử dụng để xác định cực đại và cực tiểu của hàm số, từ đó giải quyết các bài toán tối ưu hóa.

4. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = sin(2x).

Giải:

f'(x) = 2cos(2x)
f''(x) = -4sin(2x)

Bài 2: Tìm khoảng mà hàm số f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 lồi.

Giải:

f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4
f''(x) = 12x² - 24x + 12 = 12(x - 1)²
Vì f''(x) ≥ 0 với mọi x, hàm số f(x) lồi trên toàn bộ trục số thực.

5. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

6. Kết luận

Bài học về đạo hàm cấp hai là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 11. Hy vọng rằng, với những kiến thức và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan đến đạo hàm cấp hai.